Đề thi HSG Toán 9 cấp quận năm 2019 - 2020 phòng GDĐT Ba Đình - Hà Nội

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP QUẬN

QUẬN BA ĐÌNH NĂM HỌC: 2019 - 2020

ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN

(Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 07/11/2019

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1. (4,0 điểm) Cho các biểu thức:

   2,4 5,4 15 2,4 5,4 15 . A      3 3 3 1 3 . . 2 1 2 1 B   

Chứng minh rằng A và B là các số nguyên.

Bài 2. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình: 5 4 2 1. x x x    

b) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn 1 1. a b   Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 . ab T a b  

Bài 3. (4,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên a biết a + 20 và a - 69 đều là số chính phương.

b) Cho A là một tập hợp gồm ba số tự nhiên có tính chất: tổng hai phần tử tùy ý của A là một số chính phương. Chứng minh rằng: trong tập hợp A có không quá một số lẻ.

Bài 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) và đường cao AH.

a) Cho biết AH = 12 cm và BC = 25 cm. Tính tổng AB + AC.

b) Đường thẳng đi qua trọng tâm G của tam giác ABC cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M và N. Chứng

minh rằng: 2 2 2 1 1 9 . AM AN BC  

Bài 5. (4,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, dây CD (C thuộc cung AD), gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến CD, trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho CM = DN.

a) Chứng minh BN vuông góc với CD.

b) Gọi I là giao điểm của AD và BC. Chứng minh: . AIB AMC CID DNB S S S S       

---------- HẾT ----------

https://thcs.toanmath.com/

Họ và tên thi sinh: ……………………………………………………. Số báo danh: ……………