Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 9 THCS năm 2018 - 2019 sở GDĐT Đăk Lăk

G GGVVV::: N NNggguuuyyyễễễnnn D DDưưươơơnnnggg Hả Hả Hảiii ––– TTTH HHC CCSSS N NNggguuuyyyễễễnnn C CChhhííí TTThhhaaannnhhh ––– BBBM MMTTT ––– Đ ĐĐăăăkkk LLLăăăkkk (((SSSưưưuuu tttầầầm mm và và và gggiiiớớớiii ttthhhiiiệệệuuu))) tttrrraaannnggg 111

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN THI: TOÁN 9 – THCS Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/4/2019

Bài 1: (4 điểm)

1) Rút gọn biểu thức  

3 3 2 3 33 12 5 37 30 3 A      .

2) Giải hệ phương trình 6 12 8

2 1 2

x x x x y y

x x y

       

Bài 2: (4 điểm) 1) Cho phương trình 2 4 2 2 5 x x x m      (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của

m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt. 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, một đường thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(0; 3) và cắt parabol 

2 : P y x  tại hai điểm A, B. Gọi C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục Ox. Viết phương trình đường thẳng d, biết hình thang ABDC có diện tích bằng 20.

Bài 3: (4 điểm) 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên   ;x y thỏa mãn: 2 2 2 2 6 4 20 x y xy x y      2) Tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng số đó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.

Bài 4: (4 điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm) và một cát tuyến ADE của (O) sao cho ADE nằm giữa hai tia AO và AB; D, E  (O). Đường thẳng qua D và song song với BE cắt BC, AB lần lượt tại P, Q. 1) Gọi H là giao điểm của BC với OA. Chứng minh OEDH là tứ giác nội tiếp. 2) Gọi K là điểm đối xứng của B qua E. Chứng minh ba điểm A, P, K thẳng hàng.

Bài 5: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh CB, CD lần lượt lấy các điểm M, N (M không trùng với B và C; N không trùng với C và D) sao cho  0 45 MAN  . Chứng minh rằng đường chéo BD chia tam giác AMN thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Bài 6: (2 điểm) Cho , , a b c là các số thực dương thỏa 3 a b c   . Chứng minh rằng:

2 2 2 1 1 1 3 1 1 1 a b c b c a         

-------------------- Hết --------------------

G GGVVV::: N NNggguuuyyyễễễnnn D DDưưươơơnnnggg Hả Hả Hảiii ––– TTTH HHC CCSSS N NNggguuuyyyễễễnnn C CChhhííí TTThhhaaannnhhh ––– BBBM MMTTT ––– Đ ĐĐăăăkkk LLLăăăkkk (((SSSưưưuuu tttầầầm mm và và và gggiiiớớớiii ttthhhiiiệệệuuu))) tttrrraaannnggg 222

BÀI GIẢI

Bài 1: (4 điểm)

1) Ta có      

3 3 3 3 2 3 33 12 5 37 30 3 3 2 3 33 12 5 1 2 3 A          

       

2 3 2 3 33 12 4 2 3 3 2 3 33 12 1 3 3 2 3 21 12 3           

     

2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 12 9 3         

2) (ĐK: 0, y 0 x  )

   

3 3 2 6 12 8 2 2

2 1 2 2 1 2 2 1 2 4 2 1 2

x y x x x x y y x y x y

x x y x x y x x x x x y

                                         

  

2

2 1 0 2 2

1 3 0 2 1 2 4 4 3 0 2

3 0

x y

x y x x y x y

x x x x x x x x y

x

                                                      

 

 

1

1 9 1 1

3

y vo ly

x x tm y y

x

                       

. Vậy nghiệm của hệ là 9

1

x

y

    

Bài 2: (4 điểm) 1) Ta có  2 2 4 2 2 5 2 2 2 1 0 * x x x m x x m            Đặt   2 0 t x t    . Khi đó (*) trở thành:   2 2 1 0 ** t t m   

Do đó (*) có bốn nghiệm phân biệt  (**) có hai nghiệm dương phân biệt

  0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 2 0

t

t

t

m m P m m m S

                           2) Vì đường thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(0; 3), nên phương trình đường thẳng d có dạng 3 y kx   Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:  2 2 3 3 0 * x kx x kx       Vì 3 0 ac , nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt Vì (d) cắt (P) tại hai điểm A; B, nên hoành độ các điểm A, B là hai nghiệm của (*).

Theo Vi ét ta có: 3

A B

A B

x x k

x x

      . Lại có         2 2 ; , ; , ; 0 , ; 0 A A B B A B …