Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 9 năm 2018 - 2019 sở GDĐT Bình Định

Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951

Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH ĐỊNH

Đề chính thức

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

Năm học: 2018 – 2019 Môn: TOÁN 9 – Ngày thi: 18/03/2019 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1. (5.0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức:   3 3 3 A x y x y     , biết rằng:

3 3 3 2 2 3 2 2 x     và 3 3 17 12 2 17 12 2 y     .

2) Cho hai số thực , m n khác 0 thỏa mãn: 1 1 1 . 2 m n   Chứng minh rằng phương trình:

   2 2 0 x mx n x nx m      luôn có nghiệm.

Bài 2. (5.0 điểm)

1) Giải hệ phương trình:

2

3

1 . 4 5

x xy y

x y x

        

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 2 1 2 . xy x y x y xy     

Bài 3. (3.0 điểm)

1) Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2019 điểm

nằm trong hoặc trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1.

2) Cho , , a b c là các số thực không âm thỏa mãn: 3. a b c  Chứng minh rằng:

3 3 3 1 1 1 5. a b b c c a   

Bài 4. (7.0 điểm)

1. Cho tam giác nhọn ABC vuông cân tại . A Gọi D là trung điểm của cạnh BC . Lấy điểm M

bất kỳ trên đoạn AD ( M không trùng với A ). Gọi , N P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc

của M trên các cạnh , AB AC và H là hình chiếu vuông góc của N lên đường thẳng . PD

a) Chứng minh rằng: . AH BH 

b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I . Chứng minh ba điểm , , H N I thẳng hàng.

2. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn , O đường cao AH . Gọi M là giao điểm của AO và

BC . Chứng minh rằng 2. . HB MB AB HC MC AC   Dấu bằng xảy ra khi nào ?

----------  HẾT  ----------

Đề ôn thi HSG 9 Tel: 0905.884.951 – 0929.484.951

Trường THCS Đào Duy Từ Năm học 2018 – 2019 GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 2

ĐÁP ÁN THAM KHẢO 2018 – 2019

Bài 1. (5.0 điểm) 1) Tính giá trị biểu thức:   3 3 3 A x y x y     , biết rằng:

3 3 3 2 2 3 2 2 x     và 3 3 17 12 2 17 12 2 y     .

2) Cho hai số thực , m n khác 0 thỏa mãn: 1 1 1 . 2 m n   Chứng minh rằng phương trình:

   2 2 0 x mx n x nx m      luôn có nghiệm.

Giải

1) ● Ta có  

3 3 3 3 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3. 3 2 2 6 3 x x x         

và  

3 3 3 3 17 12 2 17 22 2 17 12 2 3. 17 12 2 34 3 y y y           

● Cộng vế theo vế, ta được:   3 3 3 3 40 3 3 3 40. x y x y x y x y         

 Vậy 40 A  khi

3 3 3 2 2 3 2 2 x     và 3 3 17 12 2 17 12 2 y     .

2) ● Từ  2 2 2 2 1 1 1 4 4 2 . 4 4 0 . 2 m n m n m n m n m n m n             

Ta có:     



2 2 2

2

0 2 0 1

0 3

x mx n x mx n x nx m

x nx m

              

.

● Giả sử cả hai phương trình  2 và  3 đều vô nghiệm:

 

2 2 2 2

2 3

0 4 0 4 4 0 . 0 4 0

m n m n m n n m

                          

Nhận thấy   và    mâu thuẫn nên giả sử sai. Suy ra trong hai phương trình:  2 và  3 có ít

nhất một phương trình có nghiệm.  Do đó phương trình  1 luôn có nghiệm.

Bài 2. (5.0 điểm)

1) Giải hệ phương trình: 



2

3

1 1

. 4 5 2

x xy y

x y x

        

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 2 1 2 . xy x y x y xy     

Giải 1) Điều kiện 0 x  . Ta có:     1 1 1 0 1 . x x y y x        (Do 1 0 x  )

● Thay 1 y x  vào  2 , ta được:     3 3 1 1 1 4 1 0 1 4 1 0 1 x x x x x x x

          

   

2 3

2 3 3 1 1. 1 4 1 0 1 1

x x x x x

                        

(Vì    

2 3

2 3 1

1 4 1 0, 0 1

x

x x x



    

).

Với 1 0. x y  

 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: 1

0 x y

  

.