Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm học 2018 - 2019 sở GDĐT Bắc Ninh

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: Toán – Lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (4,0 điểm) 1) Rút gọn biểu thức:

3 3

3 3 2( ) 2 2 . 2 2 2 2 2 2

a b a a b P a a ab b b ab a b

                                

với 0, 0, 2 . a b a b   

2) Cho hàm số   2 4 4 3 2 y m m x m      có đồ thị là d . Tìm tất cả các giá trị của m

để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại hai điểm A, B sao cho tam giác OAB có diện tích là 1 2 cm (O là gốc tọa độ, đơn vị đo trên các trục là cm). Câu 2. (4,0 điểm)

1) Cho phương trình   2 2 3 2 2 5 3 0 x m x m m       , x là ẩn, m là tham số. Tìm tất

cả giá trị của m để phương trình có ít nhất một nghiệm dương.

2) Giải hệ phương trình 3 3 2 2 1 3 1 2

3 2 2

x y y x x y

x x y y

             

Câu 3. (4,0 điểm)

1) Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn các điều kiện 2 ( )( ) 4 a c b c c    . Tìm giá trị

lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 a b ab P b c a c bc ca       .

2) Tìm số nguyên tố p thỏa mãn 3 4 9 p p   là số chính phương. Câu 4. (7,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn   O AB AC  và đường caoAD . Vẽ

đường kính AE của đường tròn O .

a) Chứng minh rằng . . AD AE AB AC  . b) Vẽ dây AF của đường tròn  O song song với , BC EF cắt AC tại , Q BF cắt AD tại

P . Chứng minh rằng PQ song song với BC .

c) Gọi K là giao điểm của AE vàBC . Chứng minh rằng:

. . . . . AB AC AD AK BD BK CDCK  

2) Cho tam giác ABC có   90 , 20 BAC ABC    . Các điểm E và F lần lượt nằm trên

các cạnh , AC AB sao cho  10 ABE   và  30 ACF  . Tính  CFE . Câu 5. (1,0 điểm)

Trong kì thi Olympic có 17 học sinh thi môn Toán được mang số báo danh là số tự nhiên trong khoảng từ 1 đến 1000. Chứng minh rằng có thể chọn ra 9 học sinh thi toán có tổng các số báo danh được mang chia hết cho 9.

--------HẾT-------- Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .............................

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 - 2019

Môn: Toán - Lớp 9 Câu Đáp án Điểm 1.1. (2,0 điểm)

Ta có       

3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 . a b a b a b a ab b       

Suy ra

 

  

  

3 3

2( ) 2 2( )

2 2 2 2 2 2 2

2 2 1 . 2 2 2 2

a b a a b a b a

a ab b a b a b a ab b

a ab b

a b a b a ab b

           

       

0,75

  

 

 

3 3

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 . 2 2 2

a b a ab b a b a a b ab b b a

a b a ab b a ab b a b b b

        

        

0,75

Từ đó suy ra  

2 2 1 2 . . 2 2 2

a b a b P a b b b

    

0,5

Cách 2: Đặt ; 2 x a y b   ta được

2 2 3 3

3 3 2 2 2 2 . x y x x y P x x y x xy y y xy

                              

với 0; 0, x y x y    .

1.2. (2,0 điểm)

Vì ba điểm , , O A B tạo thành một tam giác nên 2 4 4 0 m m    và 3 2 0 m   .

Tọa độ giao điểm A của d và Ox là 2 2 2 3 2 3 ;0 4 4 4 4 m m A OA m m m m

                  

.

0,5

Tọa độ giao điểm B của d và Oy là   0;3 2 3 2 B m OB m     . 0,5

Do tam giác ABO vuông tại O nên 2 1 1 2 3 . 3 2 1 2 2 4 4 OAB m S OAOB m m m       

0,5

Do đó,      

2 2 2

2 2 2 3 2 9 12 4 2 4 4 2 9 12 4 2 4 4 4 4

m m m m m

m m m m m m

                  

2

2

2 7 4 12 0 2 11 20 4 0 11

m m m

m m m

                    

(thỏa mãn)

0,5

2.1. (2,0 điểm)

     

2 2 2 2 3 2 4 2 5 3 8 16 4 0, m m m m m m m             . Do đó,

phương trình luôn có nghiệm, các nghiệm là 1 2 2 1; 3 x m x m     .

1,0

Phương trình có ít nhất một nghiệm dương khi và chỉ khi

1,0