Đề thi học sinh giỏi Toán 9 THCS năm 2018 - 2019 sở GDĐT Quảng Trị

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS QUẢNG TRỊ Khóa ngày 19 tháng 3 năm 2019 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Bài 1. (4,0 điểm)

Cho 4 10 2 5 4 10 2 5 a = + + + − + .

a) Chứng minh a là nghiệm phương trình

2 2 4 0. a a − − =

b) Tính giá trị của biểu thức

4 3 2

2 4 6 4. 2 12 a a a a T a a − + + + = − +

Bài 2. (4,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình

3 3

. 8 2 2 x + y = x+ y+ xy=

  

2. Giải phương trình ( )( )( ) ( )( ) 2 1 2 3 4 5 360. x x x x x + + + + + =

Bài 3. (4,0 điểm) 1. Cho , , a b clà các số thực bất kì. Chứng minh 2 2 2 . a b c ab bc ca + +  + +

2. Cho , , a b c là các số thực thỏa mãn: 1, 1, 1 a b c    và 9. ab bc ca + + =

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2 2. P a b c = + + Bài 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A ( ); AC AB  gọi H là hình chiếu của A trên , BC

D là điểm nằm trên đoạn thẳng AH ( , ) D A D H   . Đường thẳng BD cắt đường tròn tâm C bán kính CA tại E và F ( F nằm giữa B và D); M là điểm trên đoạn thẳng

AB sao cho 2 ACF BFM = ; MF cắt AH tại . N a) Chứng minh . . BH BC BE BF = và tứ giác EFHC nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh HD là phân giác góc . EHF c) Chứng minh F là trung điểm . MN Bài 5. (2,0 điểm)

Cho các số nguyên , , a b c thỏa mãn

2 2

2 2 2 2

2 a c c a b a c b c + = + + + . Chứng minh bc là

một số chính phương.

----------------------HẾT--------------------

ĐỀ CHÍNH THỨC