Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2018 - 2019 sở GDĐT Gia Lai

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIA LAI

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 07/03/2019 Câu 1 (3,0 điểm).

Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau lớn hơn 2019. Câu 2 (5,0 điểm).

1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n, số 3 3 15 A n n   chia hết cho 18. 2) Một đoàn học sinh đi tham quan quảng trường Đại Đoàn Kết tỉnh Gia Lai. Nếu mỗi ô tô chở 12 người thì thừa 1 người. Nếu bớt đi 1 ô tô thì số học sinh của đoàn được chia đều cho các ô tô còn lại. Hỏi có bao nhiêu học sinh đi tham quan và có bao nhiêu ô tô? Biết rằng mỗi ô tô chở không quá 16 người. Câu 3 (6,0 điểm).

1) Một cây nến hình lăng trụ đứng đáy lục giác đều có chiều cao và độ dài cạnh đáy lần lượt là 20cm và 1cm . Người ta xếp cây nến trên vào trong một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật sao cho cây nến nằm khít trong hộp. Tính thể tích cái hộp. 2) Cho đường tròn   ; O R và điểm I cố định nằm bên trong đường tròn ( I khác O), qua điểm I dựng hai dây cung bất kỳ AB và CD. Gọi , , , M N P Q lần lượt là trung điểm của , , , IA IB IC ID . a) Chứng minh rằng bốn điểm , , , M P N Q cùng thuộc một đường tròn. b) Giả sử các dây cung AB và CD thay đổi nhưng luôn luôn vuông góc với nhau tại I . Xác định vị trí các dây cung AB và CD sao cho tứ giác MPNQ có diện tích lớn nhất. Câu 4 (4,0 điểm).

1) Giải hệ phương trình sau

 

2

4 2 3 1 4 2 5 2 ( 1) 5

5 ( ) 10

x y y x

x x y x y y

             

2) Cho , , x y z là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 1. x y z xyz     Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 . P xy yz zx xyz     Câu 5 (2,0 điểm).

Trong kỳ thi chọn học sinh giỏi THCS cấp Tỉnh, đoàn học sinh huyện A có 17 học sinh dự thi. Mỗi thí sinh có số báo danh là một số tự nhiên trong khoảng từ 1 đến 907. Chứng minh rằng có thể chọn ra 9 học sinh trong đoàn có tổng các số báo danh chia hết cho 9.

--------------------------Hết--------------------------

Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: …………….................................……; Số báo danh: …..........; Phòng thi số:..........

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIA LAI (Hướng dẫn chấm có 04 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 07/03/2019

ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN

Câu Ý Đáp án Điểm

1 (3,0đ)

Gọi số cần lập có dạng 2019 abcd 

Trường hợp 1. 2 a 

Có 7 cách chọn a .   3,4,5,6,7,8,9 a .

Có 9 cách chọn b ( Trừ chữ số đã chọn cho a )

Có 8 cách chọn c ( Trừ các chữ số đã chọn cho ,a b )

Có 7 cách chọn d ( Trừ các chữ số đã chọn cho , , a b c )

Trường hợp này có 7.9.8.7 3528  ( số)

1,25

Trường hợp 2. 2, 0 a b  

Có 8 cách chọn b

Có 8 cách chọn c

Có 7 cách chọn d

Trường hợp này có 8.8.7 448  (số )

0,75

Trường hợp 3. 2, 0, 1 a b c   

Có 7 cách chọn c

Có 7 cách chọn d

Trường hợp này có 7.7 49  (số)

0,5

Như vậy, số các số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán là

3528 448 49 4025    ( số) 0,5

2 (5,0đ)

Ý 1 (2,0)

Ta có:     3 3 3 15 3 6 3 ( 1) ( 1) 6 A n n n n n n n n n          1,0

Với mọi số nguyên n, ( 1) ( 1) 6 n n n n    chia hết cho 6 0,5

Vậy   3 ( 1) ( 1) 6 A n n n n     chia hết cho 18 0,5

Ý 2 (3,0)

Gọi số ô tô lúc đầu là x với ; 2 x x   

Số học sinh đi tham quan là 12 1 x 

0,5

Theo giả thiết nếu số xe là x – 1 thì số học sinh của đoàn được chia đều cho tất cả các xe. Khi đó mỗi xe chở được y học sinh với ;0 16 y y     Ta có:  1 12 1 x y x   

0,5

12 1 13 12 1 1 x y x x        0,5

Vì ,x y nên 1 x  Ư(13)   1;13  0,5