Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2018 - 2019 sở GDĐT TP HCM

STAR-EDUCATION 16/2 Trần Thiện Chánh, P.12, Q.10

SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐHỒCHÍ MINH

KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ Khóa thi ngày 13/3/2019 Môn thi: TOÁN ——————

Thời gian làm bài: 90 phút, không kểthời gian phát đề ——————

Bài 1. (4 điểm)

Cho x, y là các sốthực sao cho 2

x −1

y = 1 2x + y. Tính giá trịcủa biểu thức x2

y2 + y2

x2.

Bài 2. (3 điểm) Cho a, b, c là ba sốthực sao cho a + b = c −2 và ab = 2c2 −3c + 1. Tìm giá trịlớn nhất của biểu thức P = a2 + b2

Bài 3. (3 điểm) An khởi hành từSài Gòn đi Biên Hòa. Sau đó 5 phút, Bình và Cường khởi hành từBiên Hòa vềSài Gòn. Trên đường đi, An gặp Cường ởđịa điểm C rồi gặp Bình ởđịa điểm D. Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng quãng đường Sài Gòn - Biên Hòa dài 39 km

CD = 6 km; Vận tốc của An bằng 1,5 lần vận tốc của Bình và bằng 3

4 vận tốc của Cường.

Bài 4. (6 điểm) Cho △ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). TừB kẻđường thẳng vuông góc với OC, đường thẳng này cắt AC tại D và cắt (O) tại E (E khác B). Cho biết AB = 8cm và BC = 4 cm, tính độdài các đoạn thẳng DE, OA và OD.

Bài 5. (4 điểm) Hộp phô mai có dạng hình trụ, đường kính đáy 12,2 cm và chiều cao 2,4 cm.

a) Biết rằng 8 miếng phô mai được xếp sát bên trong hộp và độdày của giấy gói từng miếng không đáng kể. Hỏi thểtích của một miếng phô mai là bao nhiêu?

b) Tính diện tích giấy gói được sửdụng cho một miếng phô mai. (Ghi kết quảgần đúng chính xác đến 1 chữsốthập phân sau dấu phẩy)

– HẾT –

www.star-education.net - Hotline: 0868.733.730 STAR TEAM

STAR-EDUCATION 16/2 Trần Thiện Chánh, P.12, Q.10

STAR-EDUCATION KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ Khóa thi ngày 13/3/2019 Môn thi: TOÁN

LỜI GIẢI

Đây là lời giải minh họa môn Toán kì thi học sinh giỏi cấp thành phốcủa đội ngũ giáo viên trẻởtrung tâm “ Star Education”.

Bài 1. Điều kiện: xy ̸= 0; y ̸= −2x.

Từgiảthiết: 2

x −1

y = 1 2x + y ⇔2y −x

xy = 1 2x + y ⇔(2y −x)(2x + y) = xy

⇔4xy + 2y2 −2x2 −xy = xy ⇔2xy + 2y2 −2x2 = 0 ⇔xy + y2 −x2 = 0(∗). Vì xy ̸= 0 nên chia phương trình (∗) cho xy, ta được: 1 + y

x −x

y = 0

⇔x

y −y

x = 1 ⇔ x

y −y

x

2 = 1 ⇔x2

y2 + y2

x2 −2 = 1 ⇔x2

y2 + y2

x2 = 3

Bài 2. Ta có: P = a2 + b2 = (a + b)2 −2ab. Dùng phương pháp thế, ta được: P = (c −2)2 −2(2c2 −3c + 1) = c2 −4c + 4 −4c2 + 6c −2 = −3c2 + 2c + 2

= −3 c2 −2

3c −2

3

= −3 c2 −2 · c · 1

3 + 1

9 −7

9

= −3 c −1

3

2 + 7

3 ≤7

3.

Vậy giá trịlớn nhất của P là 7

3.

Dấu ” = ” xảy ra ⇔c = 1

3 ⇔

  

 

a + b = −5

3 ab = 2

9 Hay a, b là nghiệm của phương trình X2 −SX + P = 0 ⇔X2 + 5

3X + 2

9 = 0

⇔

  

 

a = −5 + √

17 6

b = −5 − √

17 6

hoặc

  

 

a = −5 − √

17 6

b = −5 + √

17 6

Bài 3. 5 phút = 1

12 giờ.

Gọi vA, vB, vC(vA, vB, vC > 0) lần lượt là vận tốc của An, Bình và Cường.

⇒

  

 

vB = 2vA

3 vC = 4vA

3 Đặt s(s > 0) là quãng đường mà An đã đi được khi gặp Cường. Kết hợp với CD = 6km ta suy ra quãng đường mà An đã đi được khi gặp Bình là 39−(s+6) = 33−s. Theo đề, ta có hệphương trình:       

     

s vA −39 −s

4vA

3

= 1

12

s + 6

vA −33 −s

2vA

3

= 1

12

⇔

  

 

s vA −117 −3s

4vA = 1

12 s + 6

vA −99 −3s

2vA = 1

12

www.star-education.net - Hotline: 0868.733.730 STAR TEAM