Đề thi chọn HSG Toán 9 năm học 2018 - 2019 sở GD và ĐT Hà Nội

LỜI GIẢI ĐỀTHI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 THÀNH PHỐHÀ NỘI 2019

Võ Quốc Bá Cẩn

1. Đềthi

Bài 1 (5.0 điểm).

a) Giải phương trình:

3p

2 x D 1 p

x 1:

b) Cho S D 1 2 2 3 1 2 3 4 1 2 2020 2021 là một tích của 2019 thừa số. Tính S (kết quảđểdưới dạng phân sốtối giản).

Bài 2 (5.0 điểm).

a) Biết a; b là các sốnguyên dương thỏa mãn a2 ab C b2 chia hết cho 9; chứng minh rằng cảa và b đều chia hết cho 3:

b) Tìm tất cảcác sốnguyên dương n sao cho 9n C 11 là tích của k .k 2 N; k 2/ sốtự nhiên liên tiếp.

Bài 3 (3.0 điểm).

a) Cho x; y; z là các sốthực dương nhỏhơn 4: Chứng minh rằng trong các số1

x C 1 4 y;

1 y C 1 4 z; 1

z C 1 4 x luôn tồn tại ít nhất một sốlớn hơn hoặc bằng 1:

b) Với các sốthực dương a; b; c thay đổi thỏa mãn điều kiện a2 C b2 C c2 C 2abc D 1; tìm giá trịlớn nhất của biểu thức P D ab C bc C ca abc:

Bài 4 (6.0 điểm). Cho tam giác AB C vuông tại A .AB < AC /: Đường tròn .I / nội tiếp tam giác AB C ; tiếp xúc với các cạnh B C ; CA; AB lần lượt tại D; E; F : Gọi S là giao điểm của AI và DE:

a) Chứng minh rằng tam giác I AB đồng dạng với tam giác EAS:

b) Gọi K là trung điểm của AB và O là trung điểm của B C : Chứng minh rằng ba điểm K; O; S thẳng hàng.

c) Gọi M là giao điểm của KI và AC : Đường thẳng chứa đường cao AH của tam giác AB C cắt đường thẳng DE tại N: Chứng minh rằng AM D AN:

Bài 5 (1.0 điểm). Xét bảng ô vuông cỡ10 10 gồm 100 hình vuông có cạnh 1 đơn vị. Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một sốnguyên tùy ý sao cho hiệu hai sốđược điền ởhai ô chung cạnh bất kỳđều có giá trịtuyệt đối không vượt quá 1: Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất 6 lần.

1

2 Lời giải đềthi học sinh giỏi thành phốlớp 9 thành phốHà Nội 2019

2. Lời giải và bình luận các bài toán

Bài 1 (5.0 điểm).

a) Giải phương trình:

3p

2 x D 1 p

x 1:

b) Cho S D 1 2 2 3 1 2 3 4 1 2 2020 2021 là một tích của 2019 thừa số. Tính S (kết quảđểdưới dạng phân sốtối giản).

Lời giải. a) Điều kiện: x 1: Đặt a D p

x 1; b D 3p

2 x thì ta có a 0; b 1 và

a 2 C b 3 D 1: .1/

Ngoài ra, từgiảthiết, ta cũng có a C b D 1: Thay a D 1 b vào .1/; ta được

.1 b/2 C b 3 D 1;

hay b.b 1/.b C 2/ D 0:

Suy ra b 2 f 2; 0; 1g; hay x 2 f10; 2; 1g: Thửlại, ta thấy thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S D f1; 2; 10g:

b) Đểý rằng với mọi n nguyên dương, ta có

1 2 n.n C 1/ D n2 C n 2

n.n C 1/ D .n 1/.n C 2/

n.n C 1/ :

Từđó suy ra

S D 1 4

2 3 2 5

3 4 3 6

4 5 2019 2022

2020 2021

D .1 2 3 2019/ .4 5 6 2022/

.2 3 4 2020/ .3 4 5 2021/

D 2022 2020 3

D 337

1010 :

Vậy S D 337 1010 :

Bài 2 (5.0 điểm).

a) Biết a; b là các sốnguyên dương thỏa mãn a 2 ab C b 2 chia hết cho 9; chứng minh rằng cảa và b đều chia hết cho 3:

b) Tìm tất cảcác sốnguyên dương n sao cho 9n C 11 là tích của k .k 2 N; k 2/ sốtựnhiên liên tiếp.

Lời giải đềthi học sinh giỏi thành phốlớp 9 thành phốHà Nội 2019 3

Lời giải. a) Từgiảthiết, ta suy ra 4.a 2 ab C b 2/ D .2a b/2 C 3b 2 chia hết cho 9: Do 3b 2 chia hết cho 3 nên .2a b/2 chia hết cho 3; suy ra 2a b chia hết cho 3: Từđó, ta có .2a b/2 chia hết hết cho 9: Suy ra 3b 2 chia hết cho 9; do đó b 2 chia hết cho 3; tức b chia hết cho 3: Mà 2a b chia hết cho 3 nên ta cũng có a chia hết cho 3: Vậy cảhai sốa và b đều chia hết cho 3:

b) Đểý rằng trong ba sốtựnhiên liên tiếp luôn có ít nhất một sốchia hết cho 3; mà 9n C 11 không chia hết cho 3 nên 9n C 11 không thểlà tích của k 3 sốtựnhiên liên tiếp. Từđó, theo yêu cầu của đềbài, ta suy ra 9n C 11 là tích của hai sốtựnhiên liên tiếp.

Đặt 9n C 11 D a.a C 1/ với a 2 N thì ta có a.a C 1/ 20 (do 9n 9), suy ra a 4: Từđây, ta có a.a C 1/ 11 D .a 2/2 C 5.a 3/ > .a 2/2: .1/

Mặt khác, ta cũng có

a.a C 1/ 11 < a.a C 1/ < .a C 1/2: .2/

Do a.a C 1/ 11 D 9n D .3n/2 là sốchính phương nên kết hợp với các đánh giá (1) và (2), ta suy ra a.a C 1/ 11 2 ˚ .a 1/2; a 2 : Bằng cách xét các trường hợp cụthể, ta tìm được a 2 f4; 11g: Thửlại, ta thấy chỉcó a D 4 (tương ứng, n D 1) thỏa mãn yêu cầu. Vậy có duy nhất một giá trịn thỏa mãn yêu cầu đềbài là n D 1:

Bình luận. …