Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2018 - 2019 phòng GDĐT Bình Xuyên - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (1,0 điểm).

Tìm các số tự nhiên có dạng ab , biết rằng ( ) ( )

2 2 ab ba − là số chia hết cho 3267 .

Câu 2 (1,0 điểm).

Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn 3 3 p a b = − (với , a b là hai số nguyên dương phân biệt).

Chứng minh rằng nếu lấy 4p chia cho 3 và loại bỏ phần dư thì nhận được một số là bình phương

của một số nguyên lẻ.

Câu 3 (1,0 điểm).

Cho x 4 10 2 5 4 10 2 5 = − + + + + . Chứng minh rằng x 5 1 = + .

Từ đó tính giá trị biểu thức ( )

2 2 2

2 x 2x 4x 8x 2018 A= x 2x 3

− − + +

− −

Câu 4 (1,0 điểm.

Cho biểu thức 5 7 11 x 13 6 x 5 B= : x 1 2 x 3 2x x 3 7x 7 x

  + − + −     − + + − −  

, với 25 x 0;x ;x 1 36 > ≠ ≠.

Rút gọn biểu thức B và tìm số thực x để biểu thức B nhận giá trị nguyên. Câu 5 (1,0 điểm).

Giải phương trình 7x 7x 25 5 7x 16 = + − +

.

Câu 6 (1,0 điểm).

Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 1 + + = . Chứng minh bất đẳng thức sau:

xy yz zx 3 xy z yz x zx y 2 + + ≤ + + + .

Câu 7 (1,0 điểm).

Cho hình thoi ABCD có góc A nhọn, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Kẻ OH vuông góc với đường thẳng AB tại H. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN. Chứng minh rằng MOB OND ∆ ∆ # . Câu 8 (1,0 điểm).

Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD và trực tâm H. Lấy điểm M trên đoạn AD sao cho  0 BMC 90 = . Chứng minh rằng MBC ABC HBC S S .S = . Câu 9 (1,0 điểm).

Tính giá trị của biểu thức 2 2 2 2 C sin 1 sin 2 sin 3 ... sin 89 = ° + ° + ° + + °. Câu 10 (1,0 điểm).

Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1,2,3,...,625, chọn ra 311 số sao cho không có hai số nào có tổng bằng 625. Chứng minh rằng trong 311 số được chọn, bao giờ cũng có ít nhất một số chính phương.

-----------Hết----------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………………………………….. Số báo danh:…….…………..............

HDC_HSG Toán 9 Trang 1/5

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

( Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) I) Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định. 2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo. 3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm. Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả. 4) Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó. II) Đáp án và thang điểm:

Câu 1 (1,0 điểm). Tìm các số tự nhiên có dạng ab , biết rằng ( ) ( )

2 2 ab ba − là số chia hết cho 3267 .

Nội dung trình bày Điểm ( ) ( )

2 2 2 2 2 2 (10a ) (10 ) 99( ) ab ba b b a a b − = + − + = − 0,25

( ) ( )

2 2 ab ba − chia hết cho 3267 33.99 = nên 2 2 ( )( ) a b a b a b − = − + chia hết cho 33 0,25

Từ 1 9, 1 9 a b ≤ ≤ ≤ ≤và ( )( ) 33 a b a b − +  suy ra a b = hoặc ( ) ( ) ; 7;4 a b = hoặc ( ) ( ) ; 4;7 a b = 0,25 Từ đó ta tìm được các số 11;22;33;44;47;55;66;74;77;88;99 thỏa mãn. 0,25 Câu 2 (1,0 điểm). Cho p là một số nguyên tố thỏa mãn 3 3 p a b = − (với , a b là hai số nguyên dương phân biệt). Chứng minh rằng nếu lấy 4p chia cho 3 và loại bỏ phần dư thì nhận được một số là bình phương của một số nguyên lẻ.

Nội dung trình bày Điểm Ta có 3 3 2 2 ( )( ) p a b a b a ab b = − = − + + là số nguyên tố Mà ,a b là các số nguyên dương phân biệt nên tích 2 2 ( )( ) a b a ab b − + + là số nguyên tố khi và chỉ khi 1 a b − = và 2 2 a ab b + + là số nguyên tố.

0,25

1 a b ⇒ = + 3 3 2 ( 1) 3 3 1 p b b b b ⇒ = + − = + + 0,25 ( ) 2 2 4 12 12 4 3 4 4 1 1 1( 3) p b b b b mod ⇒ = + + = + + + ≡ 0,25

Nếu lấy 4p chia 3 và loại bỏ phần dư ta được số ( ) 2 2 …