Đề thi chọn HSG Toán 9 THCS năm 2018 - 2019 sở GD và ĐT Thái Bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 

Môn: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (3,0 điểm)

Cho biểu thức 1 1 1 : 1 1 1 1 1

   + + + + = + + − −       + − − +   

xy x x x P xy

với ; 0 ≥ x y và 1. ≠ xy

a. Rút gọn P .

b. Tính giá trị của biểu thức P khi 3 3 4 2 6 4 2 6 = − + + x và 2 6 = + y x .

Câu 2. (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d):( ) –1 3 – 4 + = m x y m

và (d’): ( ) –1 + = x m y m. Tìm m để (d ) cắt (d’) tại điểm M sao cho  0 30 = MOx .

Câu 3. (4,0 điểm) a. Giải phương trình: 2 3 1 6 3 14 8 0 + − − + − − = x x x x

b. Giải hệ phương trình:

3 2 2

2 2 2 2 4 0

4 1 3 7

 − + + + − =  − − −= − + 

x x x y x y

x xy x x y

Câu 4. (2,0 điểm)

Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì

2 2 2 3 3 3 4 13 + + + ≥ a b c abc .

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ các đường cao BE và AD. Gọi H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC. a. Chứng minh: nếu HG//BC thì tan .tan 3. = B C b. Chứng minh: tan .tan .tan tan tan tan = + + A B C A B C .

Câu 6. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, gọi I, J, K lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABH, ACH. Gọi giao điểm của các đường thẳng AJ, AK với cạnh BC lần lượt là E và F. a. Chứng minh: I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF. b. Chứng minh: đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK và đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng nhau.

Câu 7. (2,0 điểm)

Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( ) ; ; x y z sao cho 2019 2019 + + x y y z

là số hữu tỉ và 2 2 2 + + x y z

là số nguyên tố.

 HẾT 

Họ và tên thí sinh:................................................................... Số báo danh:..................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH 

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019 

HƯỚNG DẪN CHẤM, ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN

(Gồm 05 trang) Câu Ý Nội dung Điểm 1. 3,0đ

Cho biểu thức 1 1 1 : 1 1 1 1 1

   + + + + = + + − −       + − − +   

xy x x x P xy

với ; 0 ≥ x y và 1 ≠ xy a. Rút gọn P .

b. Tính giá trị của biểu thức P khi 3 3 4 2 6 4 2 6 = − + + x và 2 6 = + y x .

a. 1,5đ

1 1 1 : 1 1 1 1 1

   + + + + = + + − −       + − − +   

xy x x x P xy

( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( )

1 1 1 1 : 1

1 1 1 1

1

+ − + + + + − = −

−− + + − + −

−

x xy xy x xy xy

xy

xy xy x xy x xy

xy

0,5

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

1 1 1 1

1 1 1 1

+ − + + + + − = − + + + + + −

x xy xy x xy xy

xy xy x xy x xy

0,5

( ) ( )

2 1 1

2

+ = = +

x

xy xy x y Vậy với ; 0 ≥ x y và 1 ≠ xy thì 1 = P xy

.

0,5

b. 1,5đ

Ta có: ( )

3 3 3 3 4 2 6 4 2 6 = − + + x

( )( ) 3 3 3 3 8 3 4 2 6 4 2 6 4 2 6. 4 2 6 8 6 = + − + + − + = −x

0,5

( ) 3 2 6 8 6 8 8 ⇒ + = ⇔ + = ⇔ = x x x x xy thỏa mãn điều kiện xác định 0,5

Thay vào ta có 2 4 = P . Vậy 2 4 = P .

0,5

2 3,0đ

Cho hai đường thẳng (d): ( ) –1 3 – 4 + = m x y m ,

(d’): ( ) –1 + = x m y m. Tìm m để d cắt d’ tại điểm M sao cho  0 30 = MOx .

Tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (d’) là nghiệm của hệ phương trình:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2 1 * 2

–1 3 – 4

– 2 1 1

= − −   ⇔   −

+ =

+ = = −    

x m m y

m m

m x y m

m m x y m y

0,5

Để (d) cắt (d’) ⇔ hệ (*) có nghiệm duy nhất

⇔( )1 có nghiệm duy nhất 0

2

≠  ⇔ ≠ 

m

m

0,5