Đề thi chọn HSG Toán 9 năm 2018 - 2019 phòng GDĐT Con Cuông - Nghệ An

1

PHÒNG GD&ĐT CON CUÔNG KÌ THI CHỌN HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC: 2018 – 2019

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu 1(5 điểm): Cho biểu thức A = 1 2 2 5 4 2 2 x x x x x x        với x ≥ 0 và x ≠ 4

a) Rút gọn A.

b) Tính giá trị của A khi x = 4

9 .

c) Tìm giá trị của x để A có giá trị nguyên. Câu 2 (4điểm):

1. Giải các phương trình sau:

a) 2 4 4 1 2 1 x x x    b) 3 4 2 6 5 x x x x       2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì n3 + 3n2 + 2018n chia hết cho 6 Câu 3 (2,5 điểm): Cho đường thẳng (d) có phương trình:

(m+1)x + (m-2)y = 3 (d) (m là tham số) a) Tìm giá trị của m biết đường thẳng (d) đi qua điểm A (-1; -2)

b) Tìm m để (d) cắt 2 trục tọa độ và tạo thành tam giác có diện tích bằng 9

2 .

Câu 4 (7,0 điểm): Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tiếp tuyến Ax, By. Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn ( M khác A và B). Kẻ MH vuông góc với AB tại H.

a) Tính MH biết AH = 3cm, HB = 5cm. b) Qua M kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By lần lượt tại C và D. Gọi I là

giao điểm của AD và BC. Chứng minh M,I,H thẳng hàng. c) Vẽ đường tròn tâm (O’) nội tiếp tam giác AMB tiếp xúc AB ở K.

Chứng minh diện tích AMB S = AK.KB Câu 5 (1,5 điểm) Cho x; y là các số thực dương thỏa mãn (x+1)(y+1) = 4xy.

Chứng minh rằng:

2 2 1 1 1 3 1 3 1 x y    

HẾT

Đề có 01 trang Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Đề chính thức

2

PHÒNG GD&ĐT CON CUÔNG HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS NĂM HỌC: 2018 – 2019

Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu Hướng dẫn giải, đáp án Điểm 1 (5 điểm)

a)

A = 1 2 2 5 4 2 2 x x x x x x       

( 1)( 2) 2 ( 2) (2 5 ) ( 2)( 2)

3 2 2 4 2 5 ( 2)( 2)

3 ( 2) 3 ( 2)( 2) 2

x x x x x x x

x x x x x x

      

 

      

 

     

0,5

0,5

1,0

b) Với x ≥ 0 và x ≠ 4 , tại x = 4

9 ( t/m đk )

4 2 3 3. 9 3 2 4 2 2 3 9 2 1 3 2 4 4 2 3 3

A  

 

   

0,25

0,75

0,5

c)Với x ≥ 0 và x ≠ 4

A nguyên 3

2 x x 

 có giá trị nguyên.

Mặt khác 3 6 3 3 2 2 x x x      (vì 6

2 x  > 0 )

Suy ra 0 ≤ A < 3 Vì A nguyên nên A = 0 ; 1 ; 2 A = 0 giải ra ta được x = 0 ( T/m đk ) A= 1 giải ra ta được x = 1 ( T/m đk ) A = 2 giải ra ta được x = 16 ( T/m đk ) Vậy A nguyên thì x ∈{ 0 ;1 ;16}

0,25

0,25

0,25

0,75

3

Câu 2 (4,0 điểm)

1) a)

2 4 4 1 2 1

2 1 2 1

1 2 2 1 2 1 2 1 2 1

1 2 0 2( / ) 0

x x x

x x

x

x x x x

x

x kt m x

  

   

            

          

0,5

0,5

0,5

b)Đk 0≤ x ≤ 5

3 4 2 6 5 x x x x       2 3 5 2( 1) 4 x x x        (1) Vế trái của (1) bé hơn bằng 4 ; vế phải lớn hơn hoặc bằng 4

Dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi 3 5 1 1 0

x x x x

        

  (t/mđk) Vậy pt có nghiệm duy nhất là x = 1

0,25

0,25

0,25

0,25

2. n3 + 3n2 + 2018 n = n.(n+1)(n+2) + 2016n vì n.(n+1)(n+2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên vừa chia hết cho 2 và vừa chia hết cho 3 nên n.(n+1)(n+2) chia hết cho 6 . 2016n luôn chia hết cho 6 Vậy n3 + 3n2 + 2018 n luôn chia hết cho 6 với mọi n € Z

0,5

0,5

0,25 0,25 Câu 3 (2,5 điểm)

a) Đường thẳng (d) đi qua điểm A (-1; -2) nên ta có

x = - 1; y = -2 thay vào và giải ra ta được m = 0

0,5 0,5

Để d cắt 2 trục tọa độ thì m ≠ -1 ; 2 c) Giả sử (d) cắt 2 trục tọa độ tại 2 điểm A và B. ta tính

được tọa độ A ( 3 ;0 1 m  ) B ( 3 0; 2 m )

Ta có tam giác OAB vuông tại O nên

0,25

0,25

0,25