Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2017 - 2018 sở GDĐT Lai Châu

Trang 1/1

Câu 1 (3, 0 điểm): Cho biểu thức

3 3

3 3 1 1 2 1 1 : x y x x y y A x y x y x y x y xy

    + + + = + ⋅ + +       + +      

với 0, 0 x y > >

a) Rút gọn biểu thức A. b) Biết xy = 16. Tìm các giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó.

Câu 2 (4,0 điểm)

2.1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3 2 4 5 3 0 x x xy x y − − + + + = .

2.2. Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương .

Câu 3 ( 5,0 điểm)

3.1. Cho phương trình: ( ) 2 2 2 1 6 0 x m x m m − + + + − = . Tìm m để phương trình có

2 nghiệm 1 2 , x x thoả mãn

3 2 3 1 x x − =50.

3.2. Giải phương trình 3 2 3 1 x x − = − −.

3.3. Giải hệ phương trình

2 2 2( ) 7 ( 2 ) 2 10 x y x y y y x x + + + =   − − = 

.

Câu 4 (6,0 điểm): Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ dây cung CD vuông góc với AB tại I (I nằm giữa A và O ). Lấy điểm E trên cung nhỏ BC ( E khác B và C ), AE cắt CD tại F. Chứng minh:

a) Tứ giác BEFI là tứ giác nội tiếp đường tròn.

b) AE.AF = AC2.

c) Khi E chạy trên cung nhỏ BC thì tâm đường tròn ngoại tiếp ∆CEF luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Câu 5 ( 2,0 điểm): Cho , , a b c là 3 số thực dương thỏa mãn 3 ab bc ca abc + + = .

Chứng minh rằng: 2 2 2 3 2 a b c a bc b ca c ab + + ≤ + + + .

…………………..HẾT……………………

- Thí sinh không sử dụng tài liệu

- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

UBND TỈNH LAI CHÂU SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018

Môn: Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/4/2018

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

Trang 1/4

ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM

Môn: Toán Câu 1. ( 3,0 điểm)

ý Nội dung Điểm

a

3 3

3 3 1 1 2 1 1 . : x y x x y y A x y x y x y x y xy

    + + + = + + +       + +      

( )( ) ( ) ( )

- 2 = . : x y x xy y xy x y x y x y xy xy x y xy x y

+ + + +   + + +     + +  

0,5

( )( )

( )

2 = : x y x y x y xy xy xy x y

+ +   + +     +  

0,5

( )

2

= . . x y xy xy x y

+

+ 0,5

x y

xy

+ = 0,5

b

Ta có ( )

2 0 - 2 0 x y x y xy − ≥ ⇔ + ≥ 2 . x y xy ⇔ + ≥ 0,25

Do đó 2 2 16 1 16

xy x y A xy xy

+ = ≥ = = 0,5

Vậy min A = 1 khi 4. 16

x y x y xy

 =  ⇔ = =  = 

0,25

Tổng điểm câu 1 3,0 Câu 2 ( điểm)

ý Nội dung Điểm

2.1

( ) ( ) 3 2 3 4 5 3 0 4 3 2 2 5 x x xy x y x x x y xy x − − + + + = ⇔ − + + − + − = − 0,25 ( )( ) ( ) ( ) 1 3 1 2 1 5 x x x y x x ⇔ − − − − + − = − 0,25

( )( ) 2 1 3 2 5 x x x y ⇔ − − − + = − 0,25 Ta có bảng kết quả sau

1 x − 1 5 − 5 1 − 2 3 2 x x y − − + 5 − 1 1 − 5

x 2 4 − 6 0 y 5 29 21 3 −

1,0

Vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } , 2;5 , 4;29 , 6;21 , 0; 3 x y ∈ − − 0,25

2.2 Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương . 0,5

Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương 0,5

UBND TỈNH LAI CHÂU SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018

Trang 2/4

Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương

0,5

Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 0,25

còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương Vậy có 2 số tự nhiên n thoả mãn đề bài là n = 1; n = 3

0,25

Tổng điểm câu 2 4,0

Câu 3 (5,0 điểm)

ý Nội dung Điểm 3.1 Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 1 4 6 25 0 m m m ∆= + − + − = >

⇒Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt 1, 2 x x

1

2

2

3

x m

x m

= −  ⇒ = + 

0,5

( )

3 3 3 3 1 2 2 ( 3) 50 x x m m ⇒ − = − − + = 0,5

2 2

2 1 0 5(3 3 7) 50 3 3 17 0 ( )

m m m m m m VN

 + −= ⇔ + + = ⇔ + + = 

0,5

1 5 2 1 5 2

m

m

 −+ =   ⇔  −− = 

0,5

3.2 3 2 3 1 x x − = − − Điều kiện: 1 x ≥

2 3 2 1 3 3 5 2 6 2 x x x x x − + −= ⇔ − + = − 0,25

2 2 1 3

3 5 2 36 24 4

x

x x x x

≤ ≤  ⇔ − + = − + 

0,25

2 1 3

19 34 0

x

x x

≤ ≤  ⇔ − + = 

0,25

1 3

2 ( ) 17 ( )

x

x TM x L

≤ ≤   ⇔ =     =  

0,25

2 2 2( ) 7 ( 2 ) 2 10 x y x y y y x x

 + + + =  − − = 

2 2

2 2 ( 1) ( 1) 9

( ) ( 1) 9

x y

y x x

 + + + =  ⇔ − − + = 

0,5

Đặt 1, 1 …