Đề học sinh giỏi Toán 9 cấp trường năm 2017 - 2018 trường THCS Sông Trí - Hà Tĩnh

PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ KỲ ANH

TRƯỜNG THCS SÔNG TRÍ

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC: 2017 - 2018

ĐỀ THI CÁ NHÂN Môn: TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 120 phút I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi)

Câu 1. Tính giá trị của biểu thức: 1 5 1 5

2 3 5 2 3 5 A + − = + + + − −

Câu 2. Cho ( )

1 1 f

1 1 x

x x x x + + − =

+ − −

và 4

1 3

3

a =

+

Tính giá trị ( ) f a

Câu 3. Tìm các nghiệm nguyên x, y của phương trình: 2 3 2 3 6 3 10 2 x y x y + − = −

Câu 4. Cho 1 1 1 0 a b c + + = .Tính giá trị của biểu thức: 2 2 2 ab bc ca P c a b = + +

Câu 5. Tìm số hạng thứ 6 của dãy số sau đây 1; 2; 3; 7; 37; .... Câu 6. Giải phương trình : 3 2 1 5 x x −+ −=

Câu 7. Tìm các số tự nhiên k để cho số 4 7 2 2 2 k + + là số chính phương

Câu 8. Tìm hai số hữu tỉ x, y thỏa mãn đẳng thức: ( ) ( )

3 3 18 17 18 17 18 17 x y − + + = −

Câu 9. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, đường phân giác AD.Biết BH = 63 cm; CH = 112 cm. Tính HD

Câu 10. Tam giác ABC có 0 0 105 , 45 , 4 A B BC cm = = = .Tính độ dài AB và AC II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11. Cho các số thực x, y thỏa mãn 3 3 5 5 x y y x + − = + − Tìm GTNN của biểu thức:

2 2 4 3 1 P x xy y x y = − + + + +

Câu 12. a) Giả sử D là một điểm nằm trong tam giác nhọn ABC sao cho 0 90 ADB ACB = + và

. . AC BD AD BC = Chứng minh rằng . 2 . AB CD AC BD =

b) Cho tam giác ABC. Biết rằng tồn tại hai điểm M,N lần lượt trên các cạnh AB, BC sao cho

2 BM BN AM CN = và BNM ANC = . Chứng minh rằng tam giác ABC vuông

--------- HẾT--------- Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;

- Thí sinh làm bài vào tờ giấy thi. - Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.......................................................................... Số báo danh:.............................

PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ KỲ ANH

TRƯỜNG THCS SÔNG TRÍ

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

NĂM HỌC 2017 - 2018 Môn: TOÁN - Phần thi: CÁ NHÂN

Hướng dẫn chấm

Lưu ý: - Từ câu 1 đến câu 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả, không trình bày lời giải. - Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.

Câu Đáp án Điểm Câu 1

1.5đ Đáp số: 2 A = − .Trước hết tính 1 2 2 A A = − = − 1.5đ

Câu 2

1.5đ

Đáp số: ( ) f 3 2 a = +

Cho ( )

2

2

( )

1 1 1 1 1 1 2 1 f ( 1) ( 1) 2 1 1 x

x x x x x x x x x x x

+ + − + + − + + −+ − = = = + − − + − −

2 1 x x = + −và 4 3 1 3

3

a = = +

Nên ( ) f 3 2 a = +

1.5đ

Câu 3

1đ

Đáp số: Các nghiệm nguyên (x,y) là (2;-1) và (-2;-1) 2 3 2 3 2 3 2 3 6 3 10 2 6 3 10 5 7 x y x y x y x y + − = − + − −= − ( ) ( ) ( )( ) 2 3 3 2 3 3 2 1 5 2 1 7 3 5 2 1 7 x y y x y  + − + = − − + = −

Suy ra, các nghiệm nguyên (x,y) là (2;-1) và (-2;-1)

1đ

Câu 4

1đ

Đáp số: 3

Ta có: nếu 0 x y z + + = thì 3 3 3 3 x y z xyz + + = nên 1 1 1 0 a b c + + = thì

3 3 3 1 1 1 3 a b c abc + + = Do đó 2 2 2 3 3 3 3 ab bc ca abc abc abc p c a b a b c = + + = + + =

1đ

Câu 5

1đ

Đáp số: 1159 Quy luật 2 2 2 1 1 n n n n n a a a a a + + + = −  + với 1, n n  

Suy ra 2 2 2 2 6 5 5 4 4 . 7 7.37 37 1159 a a a a a = − + = − + =

1đ

Câu 6

1đ

Đáp số: 10 x = ĐK: 1 x  khi đó 3 2 1 5 x x −+ −= ( ) ( ) 3 2 2 1 3 0 x x  − − + −− =

2 3 3

10 10 0 10 0 1 3 ( 2) 2 2 4

x x x x x x

− −  + =  − = −+ − + − +

Vì

2 3 3

1 1 0 1 3 ( 2) 2 2 4 x x x

+  −+ − + − +

với mọi 1 x  Do đó x = 10

1.5đ

Câu 7

1đ

Đáp số: k = 8 Giả sử: ( ) ( )( ) 4 7 2 2 2 2 2 2 144 12 12 k k a a N a a a + + =   = − = + − Đặt: 12 2 ; 12 2 m n a a + = − = Với , ; m n N m n   và m n k + = . Ta được ( ) 2 2 24 8.3 2 2 1 8.3 m n n m n − − = =  − = Suy ra n = 3 ; m = 5 ; k = 8

Thử lại 8 4 7 2 2 2 2 400 20 + + = =

1đ

Câu 8

Đáp số: x = 17,5; y = 0,5

( ) ( )

3 3 18 17 18 17 18 17 x y − + + = −

18 17 18 17 18 18 17 17 x x y y  − + + = − ( ) ( ) 18 18 17 17 x y x y  + − = − −

1đ