Đề khảo sát HSG lần 1 Toán 9 năm 2017 - 2018 trường THCS Thanh Lãng - Vĩnh Phúc

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN TRƯỜNG THCS THANH LÃNG

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG_LẦN 1

NĂM HỌC 2017-2018

ĐỀ CHÍNH THỨC

MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề

Câu 1:

a) Tính giá trị của đa thức 4 2016 ( ) ( 3 1) f x x x = − + tại 1 1 9

9 9 5 5 4 4

x = − + − +

b) So sánh 2 2 2017 1 2016 1 −− − và

2 2 2.2016

2017 1 2016 1 −+ −

c) Tính giá trị biểu thức:

2 2 sin cos sin .cos 1 cot 1 tan x x x x x x + + + + với 00< x < 900

d) Biết 5 là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn:

2 3 9 20 5 a b 5 a b 5 − = −− + −

Câu 2: Giải phương trình sau:

3 2 1 3 3 1 2 3 − − − = − − −

x x x x

Câu 3: a) Cho đa thức P(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 – xy + y2 – 4 = 0 c) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n4 + 4n là hợp số. Câu 4:

a) Chứng minh rằng 2

4 4 b a + 2 2 3 3 b a b a ab − + 

b) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện 1 1 1 + + =2 a + b + 1 b + c + 1 c + a + 1

Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a). Câu 5: Cho ABC  nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC lần lượt là E và F.

a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC

b) Giả sử HD = 1

3 AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3

c) Gọi M, N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến BI và CK.

Chứng minh rằng: 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng.

--------------------- Hết ---------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay khi làm bài.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN TRƯỜNG THCS THANH LÃNG

HDC KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG_LẦN 1

NĂM HỌC 2017-2018

MÔN: TOÁN 9

Câu Ý Đáp án Điểm Câu 1

a)

1đ

2 2 2 2 9

5 2 5 2 x     = − +         − +

2 2 9

5 2 5 2 = − + − +

=

( )

2 2 2 5 4 2 5 4 9 9 8 1 5 2

+ − + − = − = −

0.75

( ) (1) 1 f x f = = 0.25

b)

1đ

Ta có

2 2 2 2 2 2

2 2 ( 2017 1 2016 1)( 2017 1 2016 1) 2015 1 2014 1

2017 1 2016 1

−− − −+ − −− −=

−+ −

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 (2015 1) (2014 1) 2017 2016 (2017 2016)(2017 2016)

2017 1 2016 1 2017 1 2016 1 2017 1 2016 1

− − − − − + = = = −+ − −+ − −+ −

0.5

2 2 2 2 2017 2016 2.2016

2017 1 2016 1 2017 1 2016 1

+ =  −+ − −+ −

Vậy 2 2 2017 1 2016 1 −− −>

2 2 2.2016

2017 1 2016 1 −+ −

0.5

c) 1đ

2 2 sin cos sin .cos cos sin 1 1 sinx cos

x x x x x x

x

+ + + +

0.25

3 3 sin cos sin .cos 1 cos 1+sinx x x x x x = + + +

0.25

( )( ) 2 2 3 3 sinx cos sin sinx.cos cos sin cos sin .cos sin .cos sinx cos sinx cos

x x x x x x x x x x x x

+ − + + = + = + + +

0.25

sin .cos 1 sin .cos 1 x x x x = + − = 0.25 d)

ĐK: a b 5  (*)

2 3 9 20 5 a b 5 a b 5

2(a b 5) 3(a b 5) (9 20 5)(a b 5)(a b 5)

− = −− + −

 − − + = − + + −

2 2 2 2 9a 45b a 5( 20a 100b 5b)  − −= − + + (*)

Ta thấy (*) có dạng A B 5 = trong đó A, B Q  , nếu A B 0thi 5 I B  =  vô lí vậy

B = 0 => A= 0.

Do đó (*)

2 2

2 2 9a 45b a 0

20a 100b 5b 0

 − − =  − + + = 

2 2 2 2

2 2

9a 45b a 0 9a 45b a 0

9 9 9a 45b b 0 a b 4 4

  − − = − − =       − + + = =    

2

9 a b a 9 a 0 hoac 4 b 4 b 0 b 4b 0

= = =         = =    − = 

(không t/m ĐK (*)). Vậy a = 9; b = 4