Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2016 - 2017 sở GDĐT Lai Châu

Trang 1/1.

UBND TỈNH LAI CHÂU SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2016-2017

Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 9/4/2017

Câu 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức: P = ( )

( )

2

2 2 4 8 32 2 : 1 2 8 2 1 3

  + +     − + −     − − +   + +    

x x x x x x x x

a) Rút gọn P; b) Tính giá trị của P với 9 4 5 x = − ; c) Tìm các giá trị chính phương của x để P có giá trị nguyên.

Câu 2: (4,0 điểm)

2.1. Chứng minh với mọi n là số tự nhiên chẵn thì 20n + 16n - 3n - 1  323

2.2. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn: 2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0

Câu 3: (4,0 điểm)

3.1. Cho phương trình: x2 - (m + 5)x + 3m + 6 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.

3.2. Giải hệ phương trình sau:

2 2

2 2 2 6

1 5

+ = + = 

y xy x

x y x

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho đường tròn (O). Qua điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến AM, AN (M, N là hai tiếp điểm) và cát tuyến ABC với đường tròn (B nằm giữa A và C). Gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh: A, M, O, I, N thuộc một đường tròn; b) Chứng minh: IA là tia phân giác của  MIN ; c) Vẽ dây CD song song MN, H là giao điểm của BD và MN. Chứng minh: HM = HN.

Câu 5: (2,0 điểm) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Q = 2 2 2 1 1 1 1 1 1 + + + + + x y z xy yz xz

--------------------Hết------------------

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ THI SỐ 1 (Đề thi có 01 trang)

Trang 1/5.

UBND TỈNH LAI CHÂU SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2016-2017

Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Ngày thi: /4/2017 Người ra đề: Chung

HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Ý Đáp án Thang

điểm

Câu 1 (4 điểm)

a

ĐKXĐ của P là : x > 0 và x 4 ≠ 0,25

Đặt: A = ( 4 4) 4 8 32 2 1 3 2 (2 )(4 2 ) x x x x x x x x x x + + + − + + + + − − + +

( 4 4 )(2 ) 4( 2 4) 8 32 (2 )( 2 4) x x x x x x x x x x x + + − − + + + + = − + +

0,5

3 2 3 2( ) 8 8 4( ) 4 4 8 16 8 32 (2 )( 2 4) x x x x x x x x x x x x + + − − − − − − + + = − + + 0,25

3 2 3 2( ) 8 16 ( ) (2 ) 8( 2) (2 )( 2 4) (2 )( 2 4) x x x x x x x x x x x x − − + + − + + + = = − + + − + + 0,25

3 (2 ) 8 ( ) 2 (2 )(4 2 )

x x x x x x

  + −   = = + − + + 0,25

Vậy: P =

2 (2 ) (2 ) : 2 x x x x x + + = + (x > 0 và 4 x ≠ ) 0,5

b

Thay 9 4 5 x = − vào P ta được :

P =

2 (2 5 2) 5 5( 5 2) 5 5 10 5 4 5 2 5 2 + − − = = = − − − −

0,5

c

Ta có: P =

2 (2 ) x x +

4 4 4 4 x x x x x + + = = + + 0,5

P ∈ Z ⇔ 4 x

∈ Z và ∈ x Z 0,25

⇔ ∈ x Ư (4) { } 1, 2, 4 ⇔ ∈± ± ± x và ∈ x Z 0,25

⇔ x = 1 hoặc x = 16 thì P có giá trị nguyên. 0,5

Ta thấy 323 = 17.19 mà (17; 19) = 1 ta chứng minh Xét B =20 16 3 1 + − − n n n  17 và B  19 0,5

HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ THI SỐ 1

(Gồm: 05 trang)

Trang 2/5.

Câu 2 (4 điểm)

2.1

ta có B = (20n - 3n) + (16n - 1) có 20n - 3n = (20 - 3)M = 17M  17

16n - 1 = (16 + 1)N = 17N  17 ( n chẵn)

⇒ B  17 (1)

0,5

ta có: B = (20n - 1) + (16n - 3n) có 20n - 1 = (20 - 1)P = 19P  19

có 16n - 3n = (16 + 3)Q = 19Q  19 ( n chẵn)

⇒ B  19 (2)

0,5

Từ (1) và (2) ⇒ B  323 0,5

2.2

2x2 + y2 + 3xy + 3x + 2y + 2 = 0

⇔(2x + y + 1)(x + y + 1) = -1 0,5

⇒ 2x + y + 1 và x + y + 1 là các ước của -1 0,25

TH1:

   − = + +

= + +

1 1

1 1 2

y x

y x

2 4 x y =  ⇒ = − 

0,5

TH2:

   = + + − = + + 1 1 1 1 2 y x y x

x = -2 y = 2  ⇒ 

0,5

Kết luận (x,y) ∈{(2; - 4), (-2; 2)} 0,25

3 (4điểm)

3.1

Phương trình có hai nghiệm x1, x2 là độ dài hai cạnh của tam giác ⇒ Phương trình phải có hai nghiệm dương 0,25

2 2 ( 5) 4(3 6) 0 ( 1) 0

5 0 5 2

3 6 0 2

  + − + ≥ − ≥   ⇔ + > ⇔ > − ⇔ > −     + > > −  

m m m

m m m

m m

0,75

- Vì x1, x2 là độ dài hai cạnh của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 nên: 2 2 2 1 2 1 2 1 2 25 ( ) 2 25 + = ⇔ + − = x x x x x x 0,25

- Áp dụng định lí Vi-et ta được: 0,5 (m + 5)2 - 2(3m + 6) = 25 ⇔ m2 + 4m - 12 = 0

⇔m = -6(loại); m = 2(thỏa mãn). Vậy m …