Đề thi HSG Toán 9 năm 2016 - 2017 phòng GDĐT thị xã Giá Rai - Bạc Liêu

Họ và tên thí sinh:……………………..………….. Chữ ký giám thị 1:

Số báo danh:……………………………..………... …………….………………..

PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ GIÁ RAI KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG THỊ XÃ NĂM HỌC 2016 - 2017 * Môn thi: TOÁN * Ngày thi: 25/12/2016 * Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu 1: (5 điểm) a) Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là một số chính phương.

b) Cho:     5 . 5 1 6 . 3 2     n n n n n M . Chứng minh: 91;    M n 

Câu 2: (5 điểm)

a) Giải phương trình:   3 2 10 x + 1 = 3 x + 2

b) Giải hệ phương trình:

3

3 x + 1 = 2y

y + 1 = 2x

 

Câu 3: (5 điểm)

a) Cho biểu thức: 2 1 1    B x x . Chứng minh: 3 2 2  B với 0 1   x

b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: 2 2   a b . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức: 1 1 a b   P .

Câu 4: (5 điểm) Cho đường tròn (O; R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tự tại E và F. a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật. b) Chứng minh   ACD CBE ∽ đồng dạng với nhau. c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp. d) Gọi S; S1; S2 theo thứ tự lần lượt là diện tích của , ,    AEF BCE BDF .

Chứng minh: 1 2 S S S   .

--- HẾT ---

(Gồm 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ GIÁ RAI KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG THỊ XÃ NĂM HỌC 2016 - 2017 * Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM

Câu Nội dung Số điểm 1 (5 điểm)

a)

Gọi: ; 1; 2; 3    n n n n là 4 số nguyên dương liên tiếp Ta có:     1 2 3     A n n n n    2 2 3 3 2     n n n n 0,25đ

    2 2 2 3 2 3     n n n n 1,0đ

    2 2 2 2 3 3 1       n n A n n 1,0đ

Vậy: A không thể là một số chính phương 0,25đ

b)

Ta có:     5 . 5 1 6 . 3 2     n n n n n M    25 18 12 5 7      n n n n 1,0đ

Và:    25 12 18 5 13      n n n n M 1,0đ

Mà:  7;13 1  0,25đ Vậy: 91;    M n  0,25đ 2 (5 điểm)

a)

ĐK: 1  x 0,25đ

Đặt:

2 1 ; 0, 0 1

         

a x a b b x x

2 2 2 2     a b x 0,25đ   2 2 10 3    ab a b 0,25đ

   3 3 0     a b a b 0,25đ

3

3

   

a b

b a 0,25đ

Với: 3  a b, thì:

2 1 3 1    x x x

2 9 10 8 0     x x (pt vô nghiệm) 0,5đ Với: 3  b a, thì:

2 3 1 1    x x x

2 10 8 0     x x 5 33   x 0,5đ

(Gồm 03 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Vậy:   5 33   S 0,25đ

b)

Ta có:

3

3 1 2

1 2

    

x y

y x

  3 3 2     x y y x 0,25đ

   2 2 2 0       x y x xy y 0,25đ

Mà:

2 2 2 2 3 2 2 0 2 4              

y y x xy y x 0,25đ

0    x y 0,25đ   x y 0,25đ Ta có phương trình:

3 2 1 0   x x    2 1 1 0      x x x 0,25đ

2 1 0

1 0

     

x

x x 0,25đ

1

1 5 2

     

x

x 0,5đ

Vậy: Hệ phương trình có 3 nghiệm

1 5 1 5 1 2 2 ; ; 1 1 5 1 5 2 2

                          

x x x y y y

0,25đ

3 (5 điểm)

a)

Ta có: 2 1 1    B x x

2 1 2 1 3 1                   x x 1,0đ

2 1 3 1      x x x x 0,75đ

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương 2 1 ; 1  

x x x x . Ta được:

2 1 2 . 3 3 2 2 1       x x B x x 0,5đ

Vậy: 3 2 2 ;0 1     B x 0,25đ

Ta có:     2 2 0 4      a b a b ab 0,25đ

4     a b ab a b 0,5đ

1 1 4     a b a b 0,25đ