Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2015 - 2016 sở GDĐT Ninh Bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH NINH BÌNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2015-2016

Môn: TOÁN Ngày thi: 02/3/2016

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang Câu 1 (5,5 điểm).

1. Rút gọn biểu thức

2 2

2 2 2 2

2 2

+ − − − = − − − + −

x x x x x x A x x x x x x

với 2 ≥ x .

2. Giải phương trình: 2 4 3 3 4 3 2 2 1 + + = + + − x x x x x

3. Giải hệ phương trình:

( )

3 2

4 2 1 5 2 0

 − = −  + − + + = 

x x x y y

x x y

Câu 2 (5,0 điểm).

Cho phương trình: 2 2 ( 1) 2 + + + = x m x m (m là tham số, x là ẩn).

1. Chứng minh với mọi giá trị của m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 ; x x .

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho: 1 2 1 2 2 1 1 2

2 1 2 1 55 − − + = + x x x x x x x x

Câu 3 (1,5 điểm). Cho các số thực không âm x, y, z đôi một khác nhau đồng thời thoả mãn

( )( ) 1 + + = z x z y . Chứng minh rằng: 2 2 2 1 1 1 4 ( ) ( ) ( ) + + ≥ − + + x y z x z y

Câu 4 (7,0 điểm). Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MNP với đường tròn (A, B là các tiếp điểm, N nằm giữa M và P). Gọi H là giao điểm của AB và MO. 1. Chứng minh: Tứ giác NHOP nội tiếp được đường tròn. 2. Kẻ dây cung PQ vuông góc với đường thẳng MO. Chứng minh ba điểm N, H, Q thẳng hàng. 3. Gọi E là giao điểm của MO và cung nhỏ AB của đường tròn (O). Chứng minh:

NE là tia phân giác của  MNH. Câu 5 (1,0 điểm).

Tìm tất cả các số nguyên dương x, y thỏa mãn:

2 2 2 9

50 100

 − =  < < 

x y

x

------HẾT------

Họ và tên thí sinh :..................................................... Số báo danh:.....................................

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:.........................................................................................

Giám thị 2:.........................................................................................

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH NINH BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2015-2016 Môn: TOÁN - Ngày thi 02/3/2016 (Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang) I. Hướng dẫn chung

1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó. 2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau. Nếu học sinh làm sai câu trước mà vẫn sử dụng kết quả của câu trước làm đúng câu sau thì châm chước để chấm ý sau bình thường theo biểu điểm.

3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm. 4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất.

5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn tổ chấm . II. Hướng dẫn chi tiết Câu Đáp án Điểm

Câu 1

(5,5 điểm)

1. ( 2,0 điểm)

( ) ( ) ( )( )

2 2 2 2

2 2

2 2

2 2

x x x x x x A x x x x x x

+ − − − − = + − − −

0,25

( ) ( )

2 2 2 2

2 2 2 2

2

x x x x x x A x x x

+ − − − − = − + 0,25

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

x x x x x x x x x x x x A x

+ − + − − − − + − = 0,25

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

x x x x x x x x x x A x

− + − − − − − = 0,25

2 4 2 2 x x x A x − = 0,5

2 2 2 A x x = − 0,5

2. ( 1,5 điểm)

Điều kiện: 3 0 2 1 0 x x + ≥   −≥ 

(*) 0,25

1 2 x ⇔ ≥ 0,25

Với điều kiện (*) phương trình đã cho tương đương với:

2 (4 4 3 3) (2 1 2 2 1 1) 0 x x x x x x − + + + + −− −+ = 0,25

2 2 (2 3) ( 2 1 1) 0 x x x ⇔ − + + −− = 0,25

2 3 0

2 1 1 0

x x

x

 − + =  ⇔ −−= 

0,25