Đề học sinh giỏi huyện Toán 9 năm 2015 - 2016 phòng GDĐT Nho Quan - Ninh Bình

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN - Lớp 9 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang).

Câu I (4,5 điểm).

Cho hai biểu thức 3 2 x P x    và 1 5 2 4 2 x x Q x x       , với 0, 4 x x  

1. Tính giá trị của biểu thức P khi 10 ( 4 2 3 7 4 3) x      2. Rút gọn biểu thức Q .

3. Tìm giá trị của x để biểu thức P Q đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu II (4,5 điểm).

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba đường thẳng 1 : 2 d y x  , : 2 2 3 y x k d    ,

3 : 2( 1) 3 y k x k d     (k là tham số).

a) Tìm giá trị của k để đường thẳng 2 d đi qua gốc tọa độ.

b) Tìm giá trị của k để đường thẳng 1 d cắt đường thẳng 2 d tại một điểm nằm trên trục hoành.

c) Chứng minh rằng khi k thay đổi, các đường thẳng 3 d luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm

cố định đó.

2. Giải phương trình sau: 2 2 9 1 x x x    

Câu III (3,5 điểm).

1. Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 2015 2018 2012 2013 2015 x y  

2. Cho các số thực , , x y z thỏa mãn đồng thời các điều kiện 2 2 2 x y z xy yz zx      và

2015 2015 2015 2016 3 x y z    . Tìm , , x y z .

3. Cho ,x y là hai số không âm thỏa mãn điều kiện 2 2 (1 )(1 ) 1 xy x y    . Tính giá trị

của biểu thức: 2 2 1 1 T x y y x     Câu IV (6,0 điểm).

Cho đường tròn ( ; ) O R và đường thẳng d cố định, d không có điểm chung với đường tròn. Gọi M là điểm thuộc đường thẳng d . Qua M kẻ hai tiếp tuyến , MA MB tới đường tròn ( , A B là các tiếp điểm). Từ O kẻ OH vuông góc với đường thẳng d ( H d  ). Nối A với B , AB cắt OH tại K và cắt OM tại I . Tia OM cắt ( ; ) O R tại E . a) Chứng minh rằng năm điểm , , , , A O B H M cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh rằng . . OK OH OI OM  . c) Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB . d) Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích tam giác OIK đạt giá trị lớn nhất. Câu V (1,5 điểm).

Cho , , a b c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 3 ab bc ca    . Chứng minh rằng:

4 4 4 a b c a bc b ca c ab     

.............................................................. HẾT ........................................................

UBND HUYỆN NHO QUAN

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HDC ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG

HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi: TOÁN - Lớp 9 (HDC gồm 04 trang). Câu Ý Nội dung Điểm

Câu I

1

(1,0)

10 ( 4 2 3 7 4 3) x      =

2 2 10 ( ( 3 1) (2 3)    

= 10 ( 3 1 2 3) 10 1 9     

0,5

Với 9 x   9 3 12 12 3 2 9 2 P       0,5

2 (1,5đ)

với 0, 4 x x   ta có 1 5 2 1 5 2 4 2 2 ( 2)( 2) x x x x Q x x x x x              0,5

( 1)( 2) 5 2 4 x x x Q x       = 2 ( 2)( 2) x x x x    0,5

= ( 2) ( 2)( 2) ( 2) x x x x x x      0,5

3 (2,0đ)

Với 0, 4 x x   thì P Q được xác định. 0,25

3 3 P x x Q x x     0,5

Áp dụng BĐT AM-GM ta có 3 2 3 x x   . 0,5

Đẳng thức xảy ra khi 3 3 x x x    0,5

Vậy Min 2 3 3 Q Khi x   0,25

II 1 a) : 2 2 3 y x k d    đi qua gốc tọa độ thì 0, 0 x y   và 3 0 k   3 k   0,5

b) Ta thấy 1d và 2d luôn cắt nhau 0,25

Đường thẳng 1d cắt trục hoành tại điểm (2;0) A 0,25

Đường thẳng 2d cắt trục hoành tại điểm 3 ( ;0) 2 k B  0,25

Để hai đường thẳng 1d , 2d cắt nhau tại một điểm trên trục hoành thì A B 

tức là 3 2 2 k   7 k   0,5