Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2014 - 2015 sở GDĐT Ninh Bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH NINH BÌNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2014-2015

Môn: TOÁN Ngày thi: 04/03/2015

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang Câu 1 (5,0 điểm).

Cho biểu thức: ( )

2 2 2 4 8 : 4 2 2

x x x x x A x x x

  − +   − −   = +    − − +     

với x không âm, khác 4.

a) Rút gọn A. b) Chứng minh rằng 1 A < với mọi x không âm, khác 4. c) Tìm x để A là số nguyên.

Câu 2 (5,0 điểm).

Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a) 2 2 2 5 12 2 3 2 5 x x x x x + + + + + = +

b)

6 11 6

x y z xy yz zx xyz

+ + =   + + =   = 

Câu 3 (2,0 điểm).

Cho 3 số thực không âm x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức A = 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 x xy y y yz z z zx x + + + + + + + + .

Câu 4 (7,0 điểm).

Cho đường tròn tâm O, dây cung BC cố định. Điểm A trên cung nhỏ BC, A không trùng với B, C và điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Gọi H là hình chiếu của A trên đoạn thẳng BC; E, F thứ tự là hình chiếu của B và C trên đường kính AA’. Chứng minh rằng:

a) Hai tam giác HEF và ABC đồng dạng với nhau. b) Hai đường thẳng HE và AC vuông góc với nhau. c) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác HEF là điểm cố định khi A chuyển động trên cung nhỏ BC.

Câu 5 (1,0 điểm).

Cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A, độ dài cạnh huyền bằng 2015. Trong tam giác ABC lấy 2031121 điểm phân biệt bất kỳ. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất hai điểm có khoảng cách không lớn hơn 1.

------HẾT------ Họ và tên thí sinh :..................................................... Số báo danh:..................................... Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:......................................................................................... Giám thị 2:.........................................................................................

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH NINH BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2014-2015 Môn: TOÁN - Ngày thi 04/03/2015 (Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang) I. Hướng dẫn chung

1. Bài làm của học sinh đúng đến đâu cho điểm đến đó. 2. Học sinh có thể sử dụng kết quả câu trước làm câu sau. 3. Đối với bài hình, nếu vẽ sai hình hoặc không vẽ hình thì không cho điểm. 4. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà đúng vẫn cho điểm đủ từng phần như hướng dẫn, thang điểm chi tiết do tổ chấm thống nhất.

5. Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch và đảm bảo thống nhất thực hiện trong toàn hội đồng chấm.

6. Tuyệt đối không làm tròn điểm. II. Hướng dẫn chi tiết Câu Đáp án Điểm

Câu 1

(5,0 điểm)

a) (3,0 điểm) Với x ≥ 0 và x ≠ 4 ta có:

( 2)( 2) ( 2)( 2 4) 2 4 : 2 ( 2)( 2) 2

x x x x x x x A x x x x

   − + − + + − + = −       − − + +   

0.5

2 4 2 4 2 : 2 2

x x x x x x x

   + + − + = + −       + +   

0.5

( ) ( )

2 2 2 4 2 4 : 2 2

x x x x x

x x

+ − + + − + = + +

0.5

2 2 4 : 2 2

x x x

x x

− + = + +

0.5

2 2 . 2 2 4

x x

x x x

+ = + − +

0.5

2

2 4

x

x x = − +

0.5

b) (1,0 điểm)

Ta có ( ) ( )

( )

2

2 4 4 2 2 1 1 2 4 2 4 1 3

x x x x A x x x x x

− − + − − −= −= = − + − + − +

0.5

Do x ≥ 0 và x ≠ 4 nên ( ) ( )

2 2 2 0; 1 3 3 0 x x − > − + ≥ > nên 1 0 1 A A −< ⇒ < 0,5

c) (1,0 điểm)

Ta có 0, 2 4 0 0 x x x A ≥ − + > ⇒ ≥ 0,5 Vậy 0 1 A ≤ < do đó 0 0 A A x ∈ ⇔ = ⇔ =  0,5

Câu 2

(5,0 điểm)

a) 3,0 điểm Tập xác định: R 0,25

2 2 2 5 12 2 3 2 5 x x x x x + + + + + = +