Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2013 - 2014 sở GDĐT Ninh Bình

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

Năm học 2013 – 2014

MÔN: TOÁN

Ngày thi: 15/3/2014

(Thời gian 150 phút không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm 05 câu, trong 01 trang

Câu 1 (6,0 điểm):

a) Rút gọn biểu thức:

2 2 ab 1 a b M 1 a b 4 b a

  = + −   +  

b) Giải phương trình:

2

2 x 1 5 x 1 9 x 3 3 x   + = −    

c) Giải hệ phương trình:

1 1 2 2 y x

1 1 2 2 x y

 + − =    + − = 

Câu 2 (3,0 điểm):

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y = mx – 2 và

parabol (P) có phương trình y =

2 x 4 − . Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng

(d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm các giá trị của m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.

Câu 3 (2,0 điểm):

Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn ≤ ≤ 0 a;b;c 2

Chứng minh rằng: + + ≥ − − − 2 2 2 1 1 1 9 4 (a b) (b c) (c a)

.

Câu 4 (6,0 điểm):

Cho đường tròn tâm O đường kính MN, dây cung AB vuông góc với MN tại điểm I nằm giữa O, N. Gọi K là một điểm thuộc dây AB nằm giữa A, I. Các tia MK, NK cắt đường tròn tâm O theo thứ tự tại C, D. Gọi E, F, H lần lượt là hình chiếu của C trên các đường thẳng AD, AB, BD. Chứng minh rằng:

a) AC.HF AD.CF = b) F là trung điểm của EH c) Hai đường thẳng DC và DI đối xứng với nhau qua đường thẳng DN.

Câu 5 (3,0 điểm):

Cho n và k là các số tự nhiên,

4 2k 1 A n 4 + = + . a) Tìm k, n để A là số nguyên tố. b) Chứng minh rằng: + Nếu n không chia hết cho 5 thì A chia hết cho 5. + Với p là ước nguyên tố lẻ của A ta luôn có p – 1 chia hết cho 4.

HẾT Họ và tên thí sinh :....................................................... Số báo danh .......................................

Họ và tên, chữ ký: Giám thị 1:..................................................................................................

Giám thị 2:..................................................................................................

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS

Năm học 2013 – 2014

MÔN: TOÁN

(hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Câu Đáp án Điểm

1

(6 điểm)

a. (2 điểm) Điều kiện: a;b > 0.

M =

2 2 2 ab 4ab a b 2ab a b 4ab + + − +

=

2 a b (a b) 2 ab . a b a b 2 ab

+ + = + +

Nếu a > 0, b > 0 thì M=1

Nếu a < 0, b < 0 thì M= –1

0,5

1

0,5

b. (2 điểm) Điều kiện xác định: x 0 ≠

Đặt

2 2 2 x 1 x 1 2 t t 3 x 9 x 3 = − ⇒ + = +

Phương trình đã cho trở thành: 3t2 – 5t + 2 =0

t 1 2 t 3

=   ⇔= 

+ t = 1 ⇔ x2 – 3x – 3 = 0 3 21 x 2 ± ⇔ =

+ t = 2/3 ⇔x2 – 2x – 3 =0 x 1 x 3 = −  ⇔ = 

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là:

3 21 3 21 ; ; 1;3 2 2

  + −   −      

0,25

0,5

0,5

0,25

0,25

0,25

c. (2 điểm)

Điều kiện xác định: 1 x;y 2 ≥

Từ hệ suy ra 1 1 1 1 2 2 y x x y + − = + − (2)

+ x > y ≥ 1 2

1 1 x y ⇒ < và 1 1 2 2 y x − < −

⇒1 1 1 1 2 2 y x x y + − < + − ⇒ với x > y ≥ 1 2 : (x; y) không là

nghiệm của HPT

0,25

0,5

+ y > x ≥ 1 2 ⇒1 1 1 1 2 2 y x x y + − > + −

⇒với x > y ≥ 1 2 :(x;y) không là nghiệm của HPT

+ x = y: thay vào hệ ta giải được x = 1, y = 1

Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

0,5

0,5

0,25

2

(3 điểm)

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phương trình

2 x mx 2 (*) 4 − − =

2 (*) x 4mx 8 0 ⇔ + − = Ta có: 2 4m 8 0 m ′ ′ ∆= + ⇒∆> ∀ ∈ Suy ra với mọi giá trị của m phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt, tức là với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B. Giả sử: A A B B A A B B A(x ;y ),B(x ;y ), y mx 2, y mx 2 = − = −

Theo định lí Viét có

A B

A B

x x 4m

x .x 8

+ = −   = − 

Khi đó: AB2=(xA −xB)2+(yA −yB)2=(xA −xB)2+m2(xB −xA)2=(xB −xA)2(1+m2)

2 2 2 2 A B A B

2 2 (x x ) 4x x (1 m ) ( 4m) 4.( 8) (1 m )

(16m 32)(1 m )

    = + − + = − − − +     = + +

2 2 AB (16m 32)(1 m ) 32 4 2 ⇒ = + + ≥ = Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m = 0.

Vậy độ dài đoạn AB nhỏ nhất khi và chỉ khi m = 0

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

3

(2 điểm)

Sử dụng BĐT Cô-si với x > 0, y > 0, ta có:

2 2 2 1 1 1 (x y) 2. .4xy 8 xy x y   + + ≥ =    

.

Suy ra: + ≥ …