Đề học sinh giỏi huyện Toán 9 năm 2013 - 2014 phòng GDĐT Nho Quan - Ninh Bình

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS Năm học 2013 – 2014 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề) Đề thi gồm 06 câu, trong 01 trang

Câu 1 (3 điểm).

a) Rút gọn biểu thức: 1 1 3 7 3 7   

b) Cho biết a = 2 3  và b = 2 3  . Tính giá trị biểu thức: P = a + b – ab

c) Rút gọn biểu thức : 2 3 6 8 4 Q 2 3 4       

Câu 2 (4 điểm).

a) Giải ph−ơng trình: 7 2 5    x x

b) So sánh 5 13 4 3 và 3 1   

c) Tìm số tự nhiên n sao cho số sau là số chính phương: n(n+3) Câu 3 (4 điểm). 1. Cho hai đường thẳng y = 6 + 2x và y = 3 - x. a. Tìm toạ độ giao điểm M của hai đường thẳng trên. b. Gọi giao điểm của hai đường thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A và B. Tính diện tích tam giác MAB 2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 3x 2 + 5y 2 = 345

Câu 4 (3,5 điểm). Cho biểu thức P =

3

3

1

) 3 ( 2

) 3 )( 1 (

3



  

   



x

x

x

x

x x

x x (với x0; x 9)

a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P tại x = 14 - 6 5 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P Câu 5 (4,0 điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R và tia tiếp tuyến Ax cùng phía với nửa đường tròn đối với AB. Từ điểm M trên Ax kẻ tiếp tuyến thứ hai MC với nửa đường tròn (C là tiếp điểm). AC cắt OM tại E; MB cắt nửa đường tròn (O) tại D (D khác B). a) Chứng minh: AMDE là tứ giác nội tiếp đường tròn. b) Chứng minh: MA2 = MD.MB c) Vẽ CH vuông góc với AB (H  AB). Chứng minh rằng MB đi qua trung điểm của CH. Câu 6 (1,5 điểm). Cho 4 số thực a , b , c ,d thỏa mãn điều kiện: ac  2.(b+d) Chứng minh rằng có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là sai: b a 4 2  , d c 4 2  ..............................&.....................................

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

PHÒNG GD&ĐT NHO QUAN HDC ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS Năm học 2013 – 2014 MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)

Câu Đáp án Điểm

1 (3.0 điểm)

a. (1.0 điểm)

     

3 7 3 7 1 1 2 7 7 2 3 7 3 7 3 7 3 7

          

0.5 0.5

b. (1. điểm) Ta có: a + b = (2 3  ) + (2 3  ) = 4

a.b = ( 2 3  )(2 3  = 1. Suy ra P = 3.

0.5 0.5 c. (1. điểm)     2 3 4 2 2 3 4 2 3 2.3 2.4 2 4 Q 1 2 2 3 4 2 3 4

               

1

2 (4.0 điểm)

a. (1.5 điểm)

                  2 7 2 5 0 7 2 7 2 5 7 2 5 x x x x x x x 0.5

 

 



 

 



   

     

  

4 11 ;4

2 7

0 44 27 4 2 7

2 x x

x

x x

x 0.75

4 11   x 0.25

b. (1.0 điểm)

5 13 4 3 5 (2 3 1) 4 2 3 3 1         

0.75

Vậy hai số này bằng nhau

0.25

c. (1.5 điểm) Đặt n(n+3) = a2 (n  N)  n2 + 3n = a2  4n2 + 12n = 4a2

 (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2  (2n + 3) 2 - 4a2 = 9 (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a)= 9

Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1

 2n + 3 + 2a = 9  n = 1 và 2n + 3 – 2a = 1  a = 2

0.75 0.25 0.5

3 (4,0 điểm)

1. (2.5 điểm) a. Toạ độ giao điểm của hai đ−ờng thẳng là nghiệm của hệ:

               4 1 3 6 2 y x y x y x

Toạ độ điểm M(-1; 4)

0.75

0.25 b. Vẽ hai đ−ờng thẳng 2x-y=-6 và x+y=3 trên cùng một hệ trục toạ độ

4 4

. . 2 1

 



MH

AB MH SMAB

(đơn vị dài)

6 3 3     AB (đơn vị dài)

12 6.4. 2 1   MAB S (đơn vị diện tích)

0.5

0.5

0.5 2. (1.5 điểm) Ta có 3x2 = -5y2 + 345 3x2 = 5(69 – y2) Ta thấy vế phải chia hết cho 5 thì vế trái chia hết cho 5

2 3x  chia hết cho 5 => x2 chia hết cho 5 => x chia hết cho 5 Mà x10 nên x= 5 hoặc x= 10 * Nếu x = 5 ta có 3. 52 = -5y2+345  5y2 = 270 =>y = 54 không thỏa mãn * Nếu x = 10 => 3.102 +5y2 = 345 5y2 = 45 => y = 3 thỏa mãn Vậy x = 10 ; y = 3 là nghiệm của hệ phương trình

0. 5 0. 5 0. 5

M

A H B -1 -2 -3 1 2 3

1 2 3 4

O