Đề học sinh giỏi huyện Toán 9 năm 2012 - 2013 phòng GDĐT Nho Quan - Ninh Bình

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2012- 2013 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I (4,0 điểm)

1. Cho a = 7 4 3  và b = 7 4 3  Chứng minh rằng a + b và a.b là một số tự nhiên. 2. Tính giá trị của biểu thức:

A = 29 30 2 9 4 2 2(5 2)     

Câu II ( 5,0 điểm) 1. Cho hàm số ( ) 3 2 y f x x    . a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho. b) Tìm giá trị của x để ( ) 2 f x  . c) Chứng minh hàm số ( ) f x đồng biến trên tập xác định của nó.

2. Cho biểu thức Q = 10 2 3 1 3 4 4 1 x x x x x x x         với 0; 1 x x  

a) Rút gọn Q. b) Chứng minh Q > - 3 với mọi x thuộc tập xác định. Câu III (4,0 điểm)

1. Giải phương trình:

2 ( 4)( 1) 3 5 2 6 x x x x      

2. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2 2 2 1 x y   Câu IV (6,0 điểm) 1. Cho tam giác nhọn ABC , BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 . a b c bc CosA    2. Cho nửa đường tròn (O) đường kính BC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm A, qua A kẻ tiếp tuyến AF với đường tròn (O) ( F là tiếp điểm). Tia AF cắt tia tiếp tuyến Bx của nửa đường tròn (O) tại D (tia tiếp tuyến Bx nằm trong nửa mặt phẳng bờ BC chứa nửa đường tròn (O)). Gọi H là giao điểm của BF với DO; K là giao điểm thứ hai của DC với nửa đường tròn (O). a) Chứng minh rằng AO.AB = AF.AD. b) Chứng minh   DHK DCO  .

c) Kẻ OM vuông góc với BC( M thuộc đoạn AD). Chứng minh rằng 1 BD DM DM AM  .

Câu V (1,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện 3 4 x y   . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức 1 1 A x xy  

……………….Hết………………. Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

UBND HUYỆN NHO QUAN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HD VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN ĐỀ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012- 2013 Hướng dẫn chấm gồm : 02 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG. - Thí sinh làm bài theo cách khác đáp án, nếu đúng thì cho điểm tương đương. - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm. Bài hình nếu hình vẽ không khớp với CM, hoặc không vẽ hình thì không chấm. - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM. Câu Nội dung Điểm Câu I (2,0đ)

1 (2,0 điểm)

7 4 3  = 2 (2 3) 2 3   0,5

7 4 3  = 2 (2 3) 2 3   0,5

7 4 3  + 7 4 3  = 4 là một số tự nhiên 0,5

7 4 3  . 7 4 3  = (2 3).(2 3)   = 1 là một số tự nhiên 0,5

2 ( 2,0 điểm)

A = 29 30 2 9 4 2 2(5 2)      = 2 29 30 2 (2 2 1) 5 2 2      0,25

= 29 30 2 3 2 2 5 2 2      = 2 29 30 ( 2 1) 5 2 2     = 0,5

= 29 30 2 30 5 2 2     = 59 30 2 5 2 2    0,5

= 2 (5 2 3) 5 2 2    = 5 2 3 5 2 2   = 1 0,75

Câu II 1 (3,0đ)

a) Hàm số ( ) 3 2 y f x x    xác định 3x + 2  0 x  2 3  0,5

b) ( ) 2 3 2 2 f x x    3x + 2 = 4 3x = 2 x = 2 3 0,5

x = 2 3 thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy với x = 1 3 thì f(x) = 2 0,5

c) Với 1 2 2 3 x x    Ta có: 2 1 2 1 ( ) ( ) 3 2 3 2 f x f x x x      0,5

= 2 1 2 1

2 1 2 1

(3 2) (3 2) 3( ) (3 2) (3 2) (3 2) (3 2) x x x x x x x x            0,5

Vì 2 1 x x  nên 2 1 0 x x   do đó 2 1 ( ) ( ) f x f x  > 0 0,25

 2 1 ( ) ( ) f x f x  nên hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định của nó. 0,25

a) Q = 10 2 3 1 ( 4)( 1) 4 1 x x x x x x x         0,25

= 10 (2 3)( 1) ( 1)( 4) ( 4)( 1) x x x x x x x         = 10 3 7 ( 4)( 1) x x x x     = 7 3 4

x x   0,75

ĐỀ CHÍNH THỨC