Chuyên đề phân số bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 6 - 7

GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 1

CHUYÊN ĐỀ PHÂN SỐ

DẠNG 1: Tìm n để phân số tối giản:

Bài 1: Tìm n N để các phân số tối giản:

a, 7 2 n A n

+ = − b, 13

2 n B n

+ = − c, 2 3 4 1 n C n

+ = + d, 3 2 7 1 n A n

+ = +

HD:

a, 2 9 9 1 2 2 n A n n − + = = + − −

Để A tối giản thì 9

2 n − tối giản hay 2 3 3 2( ) n k n k k N −  =  + 

b, 2 15 15 1 2 2 n A n n − + = = + − −

Để A tối giản thì 15

2 n − tối giản hay 2 3 3 2( ) n k n k k N −  =  +  và

2 5 5 2( ) n h n h h N −  =  +  c, Gọi d =UCLN( 2n+3; 4n+1) => 2( 2n+3) - (4n +1) d=> 5 d, Để C tối giản thì d # 5 hay 2n+3 # 5k => 2n+8 # 5k=>n # 5k – 4 (k N) d, Gọi d=UCLN (3n+2; 7n+1) => 7(3n+2) - 3(7n+1) d => 11 d, Để A tối giản thì d # 11 hay 3n+2 # 11k=> n # 11k+3 (k N) Bài 2: Tìm n N để các phân số tối giản:

a, 2 7 5 2 n A n

+ = + b, 8 193 4 3 n C n

+ = + c, 18 3 21 7 n A n

+ = + d, 21 3 6 4 n A n

+ = +

HD:

a, Gọi ( ) ( ) ( ) 3 2;2 7 5 2 7 2 5 2 31 d UCLN n n n n d d = + + = + − + =

Để A tối giản thì 31 2 7 31 2 7 31 31 d n n    = + = + + ( ) 2 19 31 n  = + = n # 31k – 19 (k N)

b, Gọi ( ) ( ) ( ) 8 193;4 3 8 193 2 4 3 187 d UCLN n n n n d d = + + = + − + =

Mà 187 11.17 = , Nên để C tối giản thì: 11, 17 d d   TH1: ( ) 11 4 3 11 4 3 11 11 4 8 11 2 11 11 2 d n n n n k n k k N      = + = + − = − = − =  + 

TH2: ( ) ( ) * 17 4 3 17 4 3 17 17 4 5 17 17 5 d n n n n h h N     = + = + + = + =  − 

c, Gọi ( ) ( ) ( ) 18 3;21 7 7 18 3 6 21 7 21 d UCLN n n n n d d = + + = + − + =

Mà 21 3.7 = , Nên để A tối giản thì 3,7 d  Thấy hiển nhiên ( ) 3, 21 7 3 d n   +

Với ( ) 7 18 3 7 18 3 3 6 1 7 6 1 7 7 d n n n n     = + = + = + = + − 7 1 n k =  +

d, Gọi ( ) ( ) ( ) 21 3;6 4 2 21 3 7 6 4 22 d UCLN n n n n d d = + + = + − + =

Mà 22 = 2.11, Nên để A tối giản thì: 2, 11 d d   TH1: 2 21 3 2 d n k n  = +  = là số chẵn TH2: 11 6 4 11 6 4 22 11 3 11 11 3 d n n n n k     = + = + − = − =  +

Bài 3: Tìm n N để các phân số tối giản:

3 12 n B n

+ = −

GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 2

Bài 4: Tìm n để 21 3 6 4 n A n

+ = + rút gọn được

HD:

Giả sử tử và mẫu cùng chia hết cho số nguyên tố d => 22 d=> d=2 hoặc d=11 TH1: d=1=> 6n+4 2 với mọi n và 21n +3 2 khi n lẻ TH2: d=11=> 21n +3 11=> n – 3 11=> n = 11k +3 => Với n= 11k+3 => 6n+4 11

Bài 5: CMR nếu phân số :

2 7 1 6 n + là số tự nhiên với nN thì các phân số 2

n và 3

n là các phân số tối

giản ? HD :

Vì phân số

2 7 1 6 n + là số tự nhiên với mọi n nên

2 7 1 6 n + => n lẻ và n không chia hết cho 3

Vậy ; 2 3 n n là các phân số tối giản

Bài 6: Cho biểu thức

3 2

3 2 2 1 2 2 1 a a A a a a + − = + + +

a/ Rút gọn biểu thức b/ CMR nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a là 1 phân số tối giản

Bài 7: Tìm tất cả các số tự nhiên n để 3 12 n n

+ − là phân số tối giản

Bài 8: Tìm các giá trị nguyên của n để phân số 3 1 1 n M n

− = − có giá trị là số nguyên

HD:

( ) 3 1 3 1 1 3 1 2 2 2 1 1 n M Z n n n n n n

− =  = − −= − + − = − −

GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 3

DẠNG 2: Chứng minh các phân số sau tối giản: Bài 1: Chứng minh các phân số sau tối giản:

a, 1 2 3 n

n

+

+ b, 2 3 3 5 n n

+ + c, 5 3 3 2 n n

+ + d,

3

4 2 2 3 1 n n n n + + −

HD:

a, Gọi ( ) ( ) ( ) 1 1;2 3 2 1 2 3 1 1 2 3 n d d UCLN n n n n d d d n d +  = + + = = + − + =− = =   + 

b, Gọi ( ) ( ) ( ) 2 3 2 3;3 5 3 2 3 2 3 5 1 1 3 5 n d d UCLN n n n n d d d n d +  = + + = = + − + =− = =   + 

c, Gọi ( ) ( ) ( ) 5 3 5 3;3 2 5 3 2 3 5 3 1 1 3 2 n d d UCLN n n n n d d d n d +  = + + = = + − + = = =   + 

d, Gọi ( ) ( ) ( )

2 3 4 2 3 4 2

3

1 2 ; 3 1 2 3 1

2

n d d UCLN n n n n n n n n n d

n n d

 +  = + + − = + − + − = + 

( ) ( ) 3 2

2 2 1

1

n d n n n n d

n d

 = + − + = + 

2

2 1 1 1

n d d d n d

 = = = =   + 

Bài 2: Chứng minh các phân số sau tối giản:

a,16 5 6 2 n n

+ + b, 14 3 21 4 n n

+ + c, 2 1 2 ( 1) n n n

+

+

d, 2 3 4 8 n n

+ +

HD: a, Gọi ( ) ( ) ( ) 16 5;6 2 8 6 2 3 16 5 1 1 d UCLN n …