26 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Đại số 8

Chương I. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC

Chuyên đề 1. PHÉP NHÂN CÁC ĐA THỨC

A.Kiến thức cần nhớ

1. Muốn nhân một đơn thức với một đa thức ta nhân đơn thức với từng hạng tử của đa thức rồi cộng các tích

với nhau.

( ) .A B C AB AC + = +

2. Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa

thức kia rồi cộng các tích với nhau.

( )( ) A B C D AC AD BC BD + + = + + +

B. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Thực hiện phép tính :

( ) 2 ) 15 6 3 x a A x y = − − ( )( ) 2 2 ) 5 3 4 2 b B x y x y = − +

Giải

( ) 2 2 ) .15 6 3 3 x x a A x y   = − + − −    

4 2 2 2 ) 20 10 12 6 b B x x y x y y = + − −

2 10 4 A x xy = − + 4 2 2 20 2 6 B x x y y = − −

Ví dụ 2: Tìm giá trị biểu thức sau:

( )( ) ( ) ) 5 7 2 3 7 2 a A x x x = − + − + tại 1 2 x =

( )( ) ( )( ) ) 2 2 2 2 b B x y x x y y x = − − + + + tại 2; 2 x y = = −

Giải

Tìm cách giải. Nếu thay giá trị của biến vào biểu thức thì ta được số rất phức tạp. Khi thực hiện sẽ gặp khó

khăn, dễ dẫn tới sai lầm. Do vậy chúng ta cần thực hiện nhân đa thức với đa thức rồi thu gọn đa thức. Cuối

cùng mới thay số.

Trình bày lời giải

a) Ta có:

( )( ) ( )( ) 5 7 2 3 7 2 4 A x x x x = − + − + −

( ) ( ) 2 2 10 15 14 21 7 28 2 8 x x x x x x = + − − − − + −

2 2 10 15 14 21 7 28 2 8 x x x x x x = + − − − + − +

2 3 27 13 x x = + −

Thay 1 2 x = vào biểu thức, ta có:

2 1 1 5 3. 27. 13 2 2 4 A   = + − =    

Vậy với 1 2 x = thì giá trị biểu thức 5 4 A =

b) Ta có:

( )( ) ( )( ) 2 2 2 2 B x y y x x y y x = − − + + +

2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 xy x y xy xy x y xy = − − + + + + +

10xy =

Thay 2; 2 x y = = − vào biểu thức ta có: ( ) 10.2. 2 40 B = − = −

Vậy với 2; 2 x y = = − thì giá trị biểu thức 40 B = −

Ví dụ 3: Tìm x, biết:

( ) ( )( ) )4 5 1 4 3 23 a x x x x − − − − = ( )( ) ( )( ) ) 5 4 1 2 7 b x x x x − − − + − =

Giải

Tìm cách giải. Để tìm x, trong vế trái có thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức .Vì

vậy ta khai triển và rút gọn vế trái ấy, sau đó tìm x.

Trình bày lời giải

( ) ( )( ) )4 5 1 4 3 23 a x x x x − − − − =

2 2 4 20 4 3 4 3 23 x x x x x − − + + − =

13 3 23 x − − =

13 23 3 x − = +

2 x = −

( )( ) ( )( ) ) 5 4 1 2 7 b x x x x − − − + − =

2 2 4 5 20 2 2 7 x x x x x x − − + − + − + =

8 22 7 x − + =

8 15 x − = −

15 8 x =

Ví dụ 4: Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

( ) ( ) ( ) 2 3 ) 2 1 2 5 a A x x x x x x = + − + + − +

( ) ( ) ( ) 2 3 2 ) 3 5 2 3 16 2 b B x x x x x x x x = − + − + − − − +

Giải

Tìm cách giải. Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x, tức là sau khi rút gọn kết quả

thì biểu thức không chứa biến x. Do vậy để giải bài toán này, chúng ta thực hiện biến đổi nhân đơn thức với

đơn thức, nhân đa thức với đa thức và thu gọn kết quả. Nếu kết quả không chứa biến x, suy ra điều phải

chứng minh.

Trình bày lời giải

a) Biến đổi biểu thức A, ta có :

( ) ( ) ( ) 2 3 2 1 2 5 A x x x x x x = + − + + − +

2 3 2 3 2 2 5 = + − − + − + A x x x x x x

6 A =

Suy ra giá trị của A không phụ thuộc vào x

b) Biến đổi biểu thức B, ta có :

( ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 3 16 2 B x x x x x x x x = − + − + − − − +

3 2 3 3 2 3 5 2 3 16 2 B x x x x x x x x = − + − − + − + −

3 3 2 2 3 3 5 5 16 B x x x x x x = − + − + − +

16 B =

Suy ra giá trị của B không phụ thuộc vào x.

Ví dụ 5: Tính nhanh

7 1 4 2 1 1 ) 4 . .1. 5741 3759 3741 5741 3759 3759.5741 a A = − + +

1 3 1 6516 4 6 ) 2 . 3 3150 6547 1050 6517 1050 3150.6517 b B = − + −

Giải

Tìm cách giải. Quan sát kỹ biểu thức, nếu thực hiện trực tiếp các phép tính bài toán dễ dẫn đến sai lầm; ta

nhận thấy nhiều số giống nhau, do vậy chúng ta nghĩ tới đặt phần giống nhau bởi một chữ. Sau đó biến đổi

biểu thức chứa chữ đó. Cách giải như vậy gọi là phương pháp đại số

Trình bày lời giải

a) Đặt 1 1 ; 5741 3749 x y = = khi đó biểu thức có dạng:

( ) ( ) 4 7 4 1 2 A x y y x y xy = + − + + +

4 7 4 8 A y xy y xy y xy = + − − + +

A y =

1 3759 A ⇒ =

b) Đặt 1 1 ; 3150 6517 x y = = khi đó biểu thức có dạng:

( ) ( ) 2 3 3 …