Chuyên đề hàm số $y ax2$ $left( a ne 0 right)$

1. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ 2 y ax    0 a

A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

* Tập xác định của hàm số:

+ Hàm số   2 0   y ax a xác định với mọi R x .

* Tính chất biến thiên của hàm số:

+ Nếu 0 a  thì hàm số   2 0   y ax a nghịch biến khi 0 x  , và đồng biến khi 0 x  .

+ Nếu 0 a  thì hàm số   2 0   y ax a đồng biến khi 0 x  và nghịch biến khi 0 x  .

* Đồ thị của hàm số:   2 0   y ax a

+ Đồ thị của hàm số   2 0   y ax a là một đường cong đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục

đối xứng. Đường cong đó được gọi là một Parabol  P với đỉnh O.

+ Nếu 0 a  thì 0 y  với mọi 0 x  , 0 y  khi 0 x  . Do đó, đồ thị  P nằm phía trên trục hoành

  Ox , đỉnh O là điểm thấp nhất của đồ thị.

+ Nếu 0 a  thì 0 y  với mọi 0 x  , 0 y  khi 0 x  . Do đó, đồ thị  P nằm phía trên trục hoành

  Ox , đỉnh O là điểm cao nhất của đồ thị.

+ Vì đồ thị   2 0   y ax a luôn đi qua gốc toạ độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng nên để vẽ đồ thị

của hàm số này, ta chỉ cần tìm một điểm ở bên phải trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng qua

Oy.

B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN MINH HỌA

Dạng 1. Xác định hàm số bậc hai

Cho hàm số  y f x  được gọi là hàm số bậc hai một ẩn nếu phương trình của hàm số có:

Vậy, để xác định một hàm số là hàm số bậc hai một ẩn phải thoả mãn điểu kiện sau:

+ Hàm số chỉ chứa một ẩn duy nhất, với bậc cao nhất của ẩn là bậc hai.

+ Hàm số có dạng 2 0 ax bx c    với   0 a  .

+ Hàm số có dạng 2 y ax b   có hệ số 0 a  .

+ Hàm số 2 y ax  có hệ số 0 a  .

Ví dụ minh hoạ 1:

Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số bậc hai một ẩn?

a. 2 1 3 y x   b.

2 1 5 x y  c. 2 1 y x x  

2. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

d. 2 2 1 y x y   e. 2 1 y x x   f.   2 3 1 y x  

Hướng dẫn giải:

Các hàm số là hàm số bậc hai một ẩn là:

2 1 5 x y  và 2 1 y x x  

  2 2 3 1 3 6 3 y x x x     .

Ví dụ minh hoạ 2:

Tìm m để hàm số sau là hàm số bậc hai một ẩn.

a.   2 2 y m x   b.   2 2 2 y m x  

Hướng dẫn giải:

a. Để hàm số   2 2 y m x   là hàm số bậc hai khi và chỉ khi: 2 0 2 m m    

Vậy, với 2 m  thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

b. Để hàm số   2 2 2 y m x   là hàm số bậc hai khi và chỉ khi: 2 2 2 2 0 2 2

m m m m

        

Vậy, với 2 m  thì hàm số đã cho là hàm số bậc hai.

Dạng 2. Điểm thuộc đồ thị hàm số - Vẽ đồ thị hàm số

* Cho hàm số   2 0   y ax a có đồ thị là Parabol  P .

+ Điểm M có toạ độ   0 0 ; x y thuộc đồ thị parabol  P khi và chỉ khi 2 0 0 y ax 

+ Điểm M có toạ độ   0 0 ; x y không thuộc đồ thị parabol  P 2 0 0 y ax  

* Vẽ đồ thị hàm số   2 0   y ax a

+ Xác định đỉnh của Parabol là gốc toạ độ   0;0 O .

+ Xác định các điểm thuộc đồ thị hàm số:

–2 –1 0 1 2

4a A 0 a 4a

+ Hình dạng parabol:

0 a 

0 a 

Parabol nhận trục tung làm trục đối xứng.

3. TOÁN HỌC SƠ ĐỒ ‐ THCS.TOANMATH.com

Ví du minh họa 1: Cho hàm số 2 1 10 y x 

a. Vẽ đồ thị  P của hàm số.

b. Các điểm sau có thuộc đồ thị hay không: 9 3;10 A     

, 5 5; 2 B      

,   10;1 C 

Hướng dẫn giải:

Hàm số 2 1 10 y x  có đồ thị là parabol  P .

a. Đồ thị  P có đỉnh là   0;0 O , nằm phía trên trục hoành, nhận trục Oy làm trục đối xứng và đồ thị

đi qua các điểm sau:

–10 –5 0 5 10

10 5 2 0 5 2 10

b. Thay toạ độ điểm 9 3;10 A     

vào phương trình parabol  P : 2 1 10 y x 

Ta có: 

2 9 1 9 9 3 10 10 10 10    (đúng). Vậy điểm A thuộc đồ thị hàm số.

Thay toạ độ điểm 5 5; 2 B      

vào phương trình parabol  P : 2 1 10 y x 

Ta có:  

2 5 1 5 25 5 5 5 2 10 2 10 2 2       (đúng).

Vậy điểm B thuộc đồ thị hàm số.