Đề tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023 - 2024 sở GDĐT Thanh Hóa

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT

NĂM HỌC: 2023 – 2024

Môn Thi: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 10/6/2023 (Đề thi có 05 câu, gồm 01 trang) Câu I. (2,0 điểm)

Cho biểu thức P = √x

√x + 2+ √x + 1

√x −2 −2 + 5√x

x −4 với ? ≥ 0, ? ≠ 4.

1. Rút gọn biểu thức P.

2. Tìm các giá trị của x để P > 1.

Câu II. (2,0 điểm)

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b.

Tìm a,b để đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 3 và đi qua điểm M(-1;2)

2. Giải hệ phương trình { 3x + y = 6

x −y = −2

Câu III. (2,0 điểm)

1. Giải phương trình x2 −3x + 2 = 0.

2. Cho phương trình x2 −2mx −m2 −2 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 (với x1< x2) thỏa mãn hệ thức ?2 −2|?1| −3?1?2 = 3?2 + 3? + 4.

Câu IV. (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O) và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Từ điểm M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O) (với A, B là các tiếp điểm). Gọi C là điểm đối xứng với B qua O, đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại D (D khác C).

1. Chứng minh MAOB là tứ giác nội tiếp.

2. Gọi N là giao điểm của hai đường thẳng AD và MO. Chứng minh MN2 = ND.NA.

3. Gọi H là giao điểm của MO và AB. Chứng minh (HA

HD)

2

−AC

HN = 1.

Câu V. (1,0 điểm) Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn 4x2 + y2 + 4z2 ≤ 6y.

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 8 (x + 3)2 + 16 (y + 4)2 + 1 (z + 1)2 + 2023.

--------------------HẾT--------------------

Họ tên thí sinh:……………………………... Số báo danh:………………………...………

Chữ kí của CBCT1:………………………… Chữ kí của CBCT2:…………………………

HƯỚNG DẪN CHẤM THI

Câu Ý Đáp án Điểm

I (2điểm)

1 (1đ)

Với x ≥ 0, ? ≠ 4 thì

P = √x

√x + 2 + √x + 1

√x −2 −2 + 5√x

x −4

⇔ P = √x (√x −2)

(√x + 2)(√x −2) + (√x + 1)(√x + 2)

(√x + 2)(√x −2) − 2 + 5√x

(√x + 2)(√x −2)

⇔ P = √x (√x −2) + (√x + 1)(√x + 2) −(2 + 5√x)

(√x + 2)(√x −2)

⇔ P = x −2√x + ? + 2√? + √? + 2 −2 −5√?

(√x + 2)(√x −2)

⇔ P = 2x −4√x

(√x + 2)(√x −2) = 2√x (√x −2)

(√x + 2)(√x −2) = 2√x

√x + 2

Vậy P = 2√x

√x + 2 Với x ≥ 0, x ≠ 4

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

2 (1đ)

Để P > 1 thì 2√x

√x + 2 > 1 ⇒2√x

√x + 2 −1 > 0

⇒ 2√x −√x − 2 > 0 ⇒ √x > 2 ⇒ x > 4

Vậy x > 4 thì P > 1

0,25

0,25 II (2điểm)

1 (1đ)

Vì đường thẳng (d) có hệ số góc bằng 3 nên a = 3 Vì đường thẳng (d) đi qua điểm M(-1;2) nên thay x = -1; y = 2 vào đường thẳng (d): y = ax + b ta được: 2 = 3.(-1) + b ⇒ b = 5

Vậy a = 3; b = 5

0,5

0,5

2 (1,5đ)

Ta có: { 3x + y = 6

x −y = −2 ⇔{3x + y + x −y = 6 −2

x −y = −2 ⇔{ 4x = 4 x −y = −2

⇔{ x = 1 1 −y = −2 ⇔{ x = 1

y = 3

Vậy hệ phương trình có nghiệm là (x; y) = (1; 3)

0,5

0,25

0,25

1 (1đ)

Xét phương trình x2 −3x + 2 = 0 có a + b + c = 0

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là [

x1 = 1

x2 = c

a = 2

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1; x2 = 2

0,25

0,25

0,25

0,25

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT

NĂM HỌC: 2023 – 2024

Môn Thi: Toán

III (2điểm)

2 (1đ)

Xét phương trình x2 −2mx −m2 −2 = 0 có:

∆' = (-m)2 −1(m2 −2) = m2 + m2 + 2 = 2m2 + 2 > 0 ∀ m.

Áp dụng định lý Vi-et ta có: { x1 + x2 = 2m

x1?2= -m2 −2

Nhận thấy ?1?2= -m2 −2 < 0 ∀ m nên phương trình có hai nghiệm trái dấu x1< 0 < x2

Mặt khác: ?2 −2|?1| −3?1?2 = 3?2 + 3? + 4

⇔ x2 + 2x1 −3x1x2 = 3m2 + 3m + 4

⇔ 2x1 + x2 −3(-m2 −2) = 3m2 + 3m + 4

⇔ 2x1 + x2 + 3m2 + 6 = 3m2 + 3m + 4

⇔ 2x1 + x2 = 3m −2

Ta có hệ phương trình { x1 + x2 = 2m 2x1+ x2= 3m −2⇔{ x1= m −2 x2= 2m −m+2 = m + 2

Thay vào x1x2 = -m2 −2 ta được phương trình

(m −2)(x + 2)= -m2 −2

⇔ m2 −4 = -m2 −2

⇔ 2m2 = 2 ⇔ m2 = 1 ⇔ m = ±1 (thỏa mãn yêu cầu bài toán)

Vậy m = 1; m = -1.

0,25

0,25

0,25

0,25

Vẽ hình (0,25đ)

Học sinh vẽ hình tương đối đúng, nếu học sinh không vẽ hình hoặc

vẽ sai sẽ không chấm điểm (phần hình)

0,25

1 (1,25đ)

Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) ⇒ MAO ̂ = MBO ̂ = 90o ⇒ MAO ̂ + MBO ̂ = 90o + 90o = 180o Mà A, B là hai đỉnh đối diện của tứ giác MAOB.

Vậy MAOB là tứ giác nội tiếp (đpcm)

0,5

0,25

0,25