Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2023 - 2024 sở GDĐT An Giang

Câu 1. (1,0 điểm)

Thực hiện phép tính

?= √7 + 1

3 −2√2

−2√14

√2 −1

+ √7 −2√2.

Câu 2. (1,0 điểm)

Giải hệ phương trình

{?+ √3?= 6 −2√3

?+ ?= 2 .

Câu 3. (1,0 điểm)

Phương trình ?2 + ??+ ?= 0 (với ?; ? là các số nguyên) có một nghiệm là 5 + √21 . Tính nghiệm còn lại.

Câu 4. (1,0 điểm)

Hình vẽ bên là đồ thị của hai hàm số ?(?) = ??2 và ?(?) = −??+ ? (?; ? là các số thực), điểm chung thứ nhất có hoành độ bằng 1. Tìm hoành độ của điểm chung thứ hai của hai đồ thị.

Câu 5. (1,5 điểm)

Cho ?3 + ?3 = 189 và (?+ ?)(?+ 1)(?+ 1) = 270 . Tính ?+ ?.

Câu 6. (3,5 điểm)

Cho tam giác ??? có ba góc đều nhọn, ?? là đường cao kẻ từ ? (?∈??). Gọi ?, ? lần lượt là trung điểm của ?? và ??, ? là điểm đối xứng của điểm ? qua ??.

a. Chứng minh rằng tứ giác ???? nội tiếp. b. Chứng minh ??? ̂ = ??? ̂. c. Chứng minh rằng ?? đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ???.

Câu 7. (1,0 điểm)

Một nhà máy sản xuất ống thép khi xuất xưởng các ống thép được bó lại tạo thành khối gồm 37 ống như hình vẽ. Biết các ống có dạng hình trụ đường kính đáy bằng nhau và bằng 10cm. Tính độ dài của một sợi dây đai để buột các ống thép lại với nhau.

------Hết------

Số báo danh:. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; Phòng thi:. . . . . .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

AN GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01 trang)

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học 2023-2024 Khóa ngày 03/6/2023 Môn thi: TOÁN CHUYÊN Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề

Dây đai

2

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO

AN GIANG

ĐÁP ÁN ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT

Năm học 2023-2024 Khóa ngày: 03/6/2023 MÔN: TOÁN CHUYÊN Câu Lược giải Điểm

Câu1 (1,0đ)

?= √7 + 1

3 −2√2

−2√14

√2 −1

+ √7 −2√2

+ √7 + 1

3 −2√2

= (√7 + 1)(3 + 2√2)

9 −8 = 3√7 + 2√14 + 3 + 2√2

0,25

+ 2√14

√2 −1

= 2√14(√2 + 1) = 4√7 + 2√14 0,25

⇒?= 3√7 + 2√14 + 3 + 2√2 −(4√7 + 2√14) + √7 − 2√2 = 3 Vậy ?= 3. 0,5

Câu2 (1,0đ)

{?+ √3?= 6 −2√3

?+ ?= 2 ⇔{√3?−?= 4 −2√3

?+ ?= 2 ⇔{(√3 −1)?= 4 −2√3

?+ ?= 2

⇒?= 4 −2√3

√3 −1

= (4 −2√3)(√3 + 1)

2 = −1 + √3

0,5

⇒?= 2 −?= 2 −(−1 + √3) = 3 −√3 Hệ có nghiệm ?= 3 −√3; ?= −1 + √3. 0,5

Câu3 (1,0đ)

Phương trình ?2 + ??+ ?= 0 (với ?; ? là các số nguyên) có một nghiệm là 5 + √21 . Thay ?= 5 + √21 vào phương trình ta được

(5 + √21)

2 + ?(5 + √21) + ?= 0 0,5 ⇔25 + 10√21 + 21 + 5?+ ?√21 + ?= 0

⇔(10 + ?)√21 + 5?+ ?+ 46 = 0

Vì ?, ? là các số nguyên nên

{ 10 + ?= 0 5?+ ?+ 46 = 0 ⇔{ ?= −10 −50 + ?+ 46 = 0 ⇔{?= −10

?= 4

0,5 Phương trình trở thành ?2 −10?+ 4 = 0 do ?1 + ?2 = 10 ⇒?2 = 10 −?1 = 10 −(5 + √21) = 5 −√21 Vậy nghiệm còn lại là 5 −√21.

Câu4 (1,0đ)

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

là ??2 = −??+ ?

⇔??2 + ??−?= 0

1,0

Dựa vào hình vẽ phương trình có một nghiệm

?1 = 1 , nghiệm còn lại

?1 + ?2 = −?

?= −1

1 + ?2 = −1 ⇔?2 = −2 Vậy giao điểm thứ hai có hoành độ ?= −2.

3

Câu5 (1,5đ)

Cho ?3 + ?3 = 189 và (?+ ?)(?+ 1)(?+ 1) = 270 . Tính ?+ ?.

Đặt ?= ?+ ?; ?= ?? ta được 0,5 ?3 + ?3 = (?+ ?)(?2 −??+ ?2) = ?(?2 −3?) = ?3 −3?? (?+ ?)(?+ 1)(?+ 1) = (?+ ?)(??+ ?+ ?+ 1) = ?(?+ ?+ 1)

= ?2 + ??+ ?

0,5 Theo giả thiết ta có

{ ?3 −3??= 189

?2 + ??+ ?= 270

⇒?3 + 3?2 + 3?= 999

0,5 ⇔?3 + 3?2 + 3?+ 1 = 1000 ⇔(?+ 1)3 = 1000 ⇒?+ 1 = 10 ⇔?= 9 Vậy ?+ ?= 9.

Câu6a

(1,5đ)

Ta có tam giác ??? vuông tại ?, ? là trung điểm ?? nên ??= ??= ?? (tính chất trung tuyến của tam giác vuông).

(Hình vẽ 0,5đ)

0,5

??= ?? (do ? và ? đối xứng nhau qua ??) ⇒??= ??= ??= ??. Vậy tứ giác ???? nội tiếp trong đường tròn có tâm ?.

0,5

Câu6b

(1,0đ)

Tứ giác ???? nội tiếp trong đường tròn có tâm ? Suy ra ??? ̂ = ??? ̂ (cùng bù với ??? ̂)

0,5

??? ̂ = ??? ̂ (do ?, ? đối xứng qua ??)

⇒??? ̂ = ??? ̂ 0,5

Câu6c

(1,0đ)

Giả sử ? là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ??? khi đó ??? ̂ =

1

2 ??? ̂ và ngược lại, do ? là trung điểm ?? nên

??? ̂ = ??? ̂ = 900 −??? ̂ Do đó ta chỉ cần chứng minh

??? ̂ = 900 −??? ̂ thì ?? đi qua ?.

0,5

Thật vậy ??? ̂ = ??? ̂ (do ?? song song ??) ??? ̂ = 900 −??? ̂ = 900 −??? ̂ = 900 −??? ̂ (chứng minh câu b) Vậy ??? ̂ = 900 −??? ̂. Điều phải …