Đề tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2022 - 2023 sở GDĐT Quảng Trị

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG TRỊ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

Khóa ngày 06 tháng 6 năm 2022

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (2,0 điểm)

Cho biểu thức

( )

2 2 2 2 ( 1) 1 1

x x P x x x

  − +   = − −   −   +  

với 0, 1. x x ≥ ≠

a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị lớn nhất của P.

Câu 2. (2,0 điểm)

1. Giải phương trình ( ) 2 3 2 4 1 6 1. x x x x + = − + −

2. Gọi 1, x 2x là hai nghiệm của phương trình

2 11 4 0. x x − + = Hãy lập một phương trình bậc hai nhận hai số 1 2 1 2 x x x + và 2 1 2 2 x x x + làm hai nghiệm. Câu 3. (2,0 điểm)

1. Tìm tất cả các số nguyên tố p và q thỏa mãn 2 2 2 1. q p − =

2. Ba cầu thủ của một đội bóng trò chuyện với nhau về số áo được in trên áo mỗi người, nội dung như sau:

An: Tôi nhận ra rằng các số trên áo của chúng ta đều là số nguyên tố có hai chữ số. Bình: Tổng hai số trên áo của hai bạn là ngày sinh nhật của tôi đã trôi qua vào tháng này. Chung: Thật thú vị! Tổng hai số trên áo của hai bạn là ngày sinh nhật của tôi sắp tới vào tháng này.

An: Và tổng hai số trên áo hai bạn là ngày hôm nay. Hãy xác định số áo của An, Bình và Chung.

Câu 4. (1,0 điểm)

1. Cho biểu thức

2 ( ) f x ax bx c = + + (với , , , 0). a b c a ∈ >  Đặt

2 4 . b ac ∆= − Chứng minh rằng nếu 0 ∆≤ thì ( ) 0 f x ≥ với mọi số thực .x 2. Chứng minh rằng với mọi số thực , , x y z ta có:

( )( )( ) 2 2 2 2 2 2 3 1 1 1 1 . x x y y z z xyz x y z − + − + − + ≥+ +

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông ở B có BD là đường cao ( ). D AC ∈ M là điểm thuộc đường trung trực ∆ của đoạn thẳng . CD Đường tròn đường kính MA cắt đường tròn tâm A bán kính AB tại E và . F

a) Chứng minh 2 . . AD AE AC =

b) Chứng minh . MC ME =

c) Khi M di động trên , ∆ chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định. ------------------- HẾT -------------------

Họ và tên thí sinh:..............................................................Số báo danh:.....................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG TRỊ

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN

Khóa ngày 06 tháng 6 năm 2022

(Hướng dẫn chấm có 02 trang)

Câu Ý Nội dung yêu cầu Điểm

1 (2,0 điểm)

a

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

2 2

2 2

1 1 1 1 2 2 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

x x x x x x x x

x x x x x x

− − + + − + − = − − − + +

= − − − = − − − − + + + +

0,5

Suy ra ( )

2 1 1 2 2 P x x x x = − − − + = − + 0,5

b

Ta có

2 1 1 2 2 2 P x   − +    = − 

0,5

Suy ra 1 2 P ≤ ; P đạt GTLN bằng 1 2 khi 1 4 x = 0,5

2 (2,0 điểm)

1

Điều kiện: 1 x ≥ 0,25

( ) ( ) ( )( )

3 2 2 2 4 1 6 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 0 x x x x x x x x x x x + = − + −⇔ + = − + ⇔ + − − = 0,25 Ta được 2 1 0 x x − −= (do 1 x ≥) 0,25 Từ đó tìm được 2 x = 0,25

2

Từ giả thiết ta có: 1 2 11; x x + = 1 2 . 4 x x = 0,25 Giả sử lập được phương trình bậc hai có hai nghiệm 1 1 2 1 2 X x x x = + và

2 2 1 2 2 . X x x x = + Dễ thấy 1 2 0, 0. X X > >

Ta có: ( ) 1 1 1 2 1 2 4 X x x x x = + = , ( ) 2 2 2 1 2 2 4 X x x x x = + =

Suy ra 1 2 1 2 16 32 (1) X X x x = = 0,25 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 16 2 176 240 X X x x X X X X X X + = + ⇔ + − = ⇔ + =

Suy ra 1 2

1 2

4 15 (2) 4 15

X X

X X

 + =  + = − 

0,25 Từ (1),(2) , kết hợp với 1 2 0, 0 X X > > suy ra phương trình thỏa mãn yêu cầu

bài toán là

2 4 15 32 0 x x − + = 0,25

3 (2,0 điểm)

1

Từ giả thiết, ta có 2 2 1 2 p q = + , suy ra p lẻ 0,25 Khi đó

2 2 1 ( 1)( 1) 4 2 p p p q = −= − +  nên 2. q Mà q nguyên tố, nên 2 q = 0,5 Suy ra 3. p = Vậy 3, 2 p q = = 0,25

2

Gọi , , A B C lần lượt là số áo của An, Bình và Chung Ta có , , A B C đều là số nguyên tố có 2 chữ số, không lớn hơn 31 và tổng 2 số bất kì trong 3 số này không vượt quá 31. Suy ra { } , , 11;13;17 A B C ∈ 0,25 Từ giả thiết ta cũng suy ra được: A C B C A B C A B + < + < + ⇒ < < 0,5 Vậy số áo của An là 13, số áo của Bình là 17, số áo của Chung là 11 0,25