Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2022 - 2023 sở GDĐT Bình Định

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VẢO LỚP 10 THPT BÌNH ĐỊNH NÃM HỌC 2022-2023 Để chính thức Môn thỉ chuyên: TOÁN (CHUYÊN TOÁN) Ngày thi: 11/6/2022 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thởi gian phát đề) Bài 1: (2,5 điểm) 1. Cho biểu thức: 2022 2020 2 5 2017 P x x x x x       .

Tính giá trị của P khi 3 3 2 5 2 5 x     . 2. Cho phương trình 3 2 1 0 x bx cx    trong đó ,b c là các số nguyên. Biết phương trình có nghiệm 0 2 5 x   . Tìm ,b c và các nghiệm còn lại của phương trình. Bài 2: (2,5 điểm)

1. Giải hệ phương trình:

2

2 2 ( ) 4 1 0

( ) 2 7 2 0

x x y y y

y x y x y

           

2. Cho , , a b c là các số nguyên. Đặt 5 5 3 ( 2021) (2 2022) (3 2023) 2 3 2022 ; S a b c P a b c           Chứng minh rằng S chia hết cho 30 khi và chi khi P chia hết cho 30 . Bài 3: ( 1,0 điểm) Có tất cả bao nhiêu đa thức ( ) P x có bậc không lởn hơn 2 với các hệ số nguyên không âm và thỏa mãn điều kiện (3) 100 P  . Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB AC)  nội tiếp đường tròn (O) , các đường cao AD,BE,CFcắt nhau tại H . Gọi M là trung diểm BC . a) Chứng minh tứ giác DMEF là tứ giác nội tiếp. b) Đường tròn tâm I đường kính AH cắt đường tròn (O) tại điểm thử hai là P . Kẻ đường kính AK của đường tròn (O) . Chứng minh bốn điểm P,H,M,K thẳng hàng. c) Các tiếp tuyến tại A và P của đường tròn (I) cằt nhau ở N . Chứng minh ba đường thẳng MN,EF,AH đồng quy. Bài 5: (1,0 điểm)

Cho 2 số ,x y thỏa mãn: 2 2

2

3

x y

x y xy 

 

 

  

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biều thức: 2 2 T x y xy    ---------HẾT---------

Đáp án Bài 1: (2,5 điểm)

1. Cho biểu thức 2022 2020 2 5 2017 P x x x x x     . Tính giá trị của P khi

3 3 2 5 2 5 x    

2. Cho phương trình 3 2 1 0 x bx cx    trong đó ,b c là các số nguyên. Biết phương trình có nghiệm 0 2 5 x   . Tìm ,b c và các nghiệm còn lại của phương trình.

Lời giải.

1. Ta có 3 3 2 5 2 5 x    

 

3 3 3 3 3

3

2

(2 5) (2 5) 3 2 5 2 5 ( 2 5 2 5)

2 5 3

( 5) 5 2 0.

x

x x

x x x

           

  

    

Chú ý rằng

2

2 5 3 5 2 0 2 4 x x x              

nên từ đây chỉ có thể 5 x  .

Thế nên   2020 2 2 5 2017 2022 P x x x x      .

2. Bằng tính toán trực tiếp, ta tính được 3 2 0 0 38 17 5; 9 4 5 x x     . Vì 0x là nghiệm của phương trình 3 2 1 0 x bx cx    nên

3 2 0 0 0 1 0

(38 17 5) (9 4 5) (2 5) 1 0

(39 9 2 ) (17 4 ) 5 0.

x bx cx

b c

b c b c

  

      

      

Ta thấy rằng nếu 17 4 0 b c    thì 39 9 2 5 17 4

b c b c        do ,b c là số nguyên, điều vô

lí. Do đó 17 4 0 b c   , kéo theo 39 9 2 0 b c    .

Giải hệ phương trình 4 17 0 5 9 2 39 0 3 b c b b c c

             

.

Với ( ; ) ( 5;3) b c  thì phương trình trở thành 3 2 5 3 1 0 x x x      2 4 1 ( 1) 0

2 5

2 5

1

x x x

x

x

x

    

        

Vậy với ( ; ) ( 5;3) b c  , ngoài nghiệm 0 2 5 x   thì PT còn nghiệm 1 2 5 x   và

2 1 x .

Bài 2: ( 2,5 điểm)