Đề tuyển sinh lớp 10 môn Toán (chuyên) năm 2022 - 2023 sở GDĐT TP Đà Nẵng

GIẢI ĐỀTHI TUYỂN SINH CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐĐÀ NẴNG 2022-2023 Thực hiện bởi lớp A1, K36 trường THPT chuyên Lê Quý Đôn, Đà Nẵng

1 Đềbài

Thời gian: 150 phút (không kểthời gian giao đề) Ngày thi: 12/6/2022

Bài 1. (1,5 điểm)

Cho biểu thức P = x + 3√x −1

x√x −1 + √x + 1 x + √x + 1 − 1 √x −1

: x + 3√x

2x với x > 0 và x ̸= 1. Rút

gọn biểu thức P và tìm tất cảcác sốtựnhiên x đểgiá trịcủa biểu thức 2√x −3P

2P là sốnguyên tố.

Bài 2. (1,5 điểm) a) Cho phương trình (5 −m)x2 + (n −3m)x + 5 + m = 0, với m và n là các tham số. Tìm tất cả các cặp sốnguyên (m; n) sao cho phương trình đã cho có nghiệm kép.

b) Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho parabol (P) : y = 2

3x2, với O là gốc tọa độ. Tìm tọa độhai

điểm A, B trên (P) sao cho tam giác OAB vuông tại O và khoảng cách từO đến AB lớn nhất.

Bài 3. (2,0 điểm) a) Giải phương trình x2 −10x + 11 + 4√2x + 1 = 0.

b) Giải hệphương trình

( 2x4 −14x3y + 31x2y2 −90xy + 66 = 0 x2y −2x2 −2y2 + (y −1) (y2 + y + 2) = 0 .

Bài 4. (2,0 điểm) a) Tìm tất cảcác cặp sốnguyên (a; b) thỏa mãn a3 = (b2 + a)b + 5. b) Cho phương trình x2 −2x + k2 −3k −9 = 0, với k là tham số. Khi phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2, hãy tìm giá trịlớn nhất và giá trịnhỏnhất của biểu thức

Q = p

x12 + x2 −x1 + k + 10 + p

x22 −2x2 + 1.

Bài 5. (1,5 điểm) Cho đường tròn (O) bán kính R và điểm A nằm trên đường tròn. Đường tròn (A; R) cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C. Gọi M là trung điểm của AB, tia MO cắt (O) tại điểm D. Tia BO cắt AD tại E và cắt (O) tại điểm thứhai là F. Tính độdài đoạn thẳng DE và diện tích tứgiác ACFE theo R. Bài 6. (1,5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC, trực tâm H và nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của BC và K là hình chiếu của H trên AM. Tia AM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BKC tại điểm thứhai là N. Chứng minh rằng tứgiác ABNC là hình bình hành.

1

2 Lời giải

Bài 1. (1,5 điểm)

Cho biểu thức P = x + 3√x −1

x√x −1 + √x + 1 x + √x + 1 − 1 √x −1

: x + 3√x

2x với x > 0 và x ̸= 1. Rút

gọn biểu thức P và tìm tất cảcác sốtựnhiên x đểgiá trịcủa biểu thức 2√x −3P

2P là sốnguyên

tố.

Lời giải (Phan Thanh Tịnh): Với x > 0 và x ̸= 1:

P = x + 3√x −1

x√x −1 + √x + 1 x + √x + 1 − 1 √x −1

: x + 3√x

2x

=

x + 3√x −1

(√x) 3 −1 + √x + 1 x + √x + 1 − 1 √x −1

!

· 2x x + 3√x

= x + 3√x −1 + (√x + 1) (√x −1) −(x + √x + 1)

(x + √x + 1) (√x −1) · 2x √x (√x + 3)

= (x + 3√x −1 + x −1 −x −√x −1) 2√x

(x + √x + 1) (√x −1) (√x + 3) = 2√x (x + 2√x −3) (x + √x + 1) (√x −1) (√x + 3)

= 2√x (√x −1) (√x + 3) (x + √x + 1) (√x −1) (√x + 3) = 2√x x + √x + 1.

Vậy với x > 0 và x ̸= 1 thì P = 2√x x + √x + 1.

Điều kiện xác định của biểu thức Q = 2√x −3P

2P là x > 0, x ̸= 1, P ̸= 0.

Giảsửx ∈N và Q là sốnguyên tố. Khi đó:

Q = 2√x −3P

2P = √x

P −3

2 = √x : 2√x x + √x + 1 −3

2 = x + √x + 1

2 −3

2 = x + √x −2

2 ,

tức 2Q = x + √x −2. Vì Q, x ∈Z nên √x ∈Z. Đặt √x = t thì t > 0 (do x > 0) và

2Q = t2 + t −2 = (t −1)(t + 2).

Ta có t −1, t + 2 là hai sốtựnhiên (vì 0 ≤t −1 < t + 2). Lại có 2, Q đều là sốnguyên tốnên chỉ có 2 cách biểu diễn 2Q dưới dạng tích 2 sốtựnhiên: 2Q = 1 · (2Q) = 2 · Q. Mà 1 < 2Q, 2 ≤Q nên t −1 ∈{1; 2}, tức t ∈{2; 3}, hay x ∈{4; 9}. Ngược lại, với x = 4 thì x ∈N và Q = 2 là sốnguyên tố. Với x = 9 thì x ∈N và Q = 5 là sốnguyên tố. Vậy x ∈{4; 9}. □

Bài 2. (1,5 điểm)

a) Cho phương trình (5 −m)x2 + (n −3m)x + 5 + m = 0, với m và n là các tham số. Tìm tất cảcác cặp sốnguyên (m; n) sao cho phương trình đã cho có nghiệm kép.

b) Trong mặt phẳng tọa độOxy, cho parabol (P) : y = 2

3x2, với O là gốc tọa độ. Tìm tọa độ

hai điểm A, B trên (P) sao cho tam giác OAB vuông tại O và khoảng cách từO đến AB lớn nhất.

2