Đề tuyển sinh lớp 10 THPT môn Toán năm 2022 - 2023 sở GDĐT Lạng Sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2022 – 2023

Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. (2,5 điểm)

a. Tính giá trị của các biểu thức: 81 16 A = − ; ( )

2 11 2 11 B = + − .

b. Cho biểu thức: 1 2 2 . 1 2 a P a a a a   = +   − − +  

, với 0 a > và 1 a ≠.

1. Rút gọn biểu thức P

2. Tính giá trị của P khi 3 2 2 a = + .

Lời giải a.

Ta có 2 2 81 16 9 4 9 4 5 A = − = − = − =

( )

2 11 2 11 11 2 11 11 2 11 2 B = + − = + − = + − = .

Vậy 5, 2. A B = =

b. 1. Với 0 a > và 1 a ≠ ta có:

( )

( )

1 2 2 1 2 2 . . 1 2 1 2 1

2 2 2 . 2 1 1

a a P a a a a a a a a

a a a a a a

      = + = +     − − + − + −    

+ = = + − −

2. Ta có ( ) ( )

2 2 2 3 2 2 2 2. 2.1 1 2 1 2 1 2 1. a a = + = + + = + ⇒ = + = +

Thay 2 1 a = + vào biểu thức P sau thu gọn ta được 2 2 2 1 2 P a = = = −

.

Câu 2. (2,0 điểm)

a. Vẽ đồ thị hàm số 3 y x = −.

b. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 2 y x = − và đường thẳng 3 y x = −.

c. Cho phương trình bậc hai với tham số ( ) 2 : 2 1 2 3 0 (1) m x m x m − + + − = .

1. Giải phươntg trình (1) khi 0 m = .

2. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x với mọi m . Tìm

tất cả các giá trị của m thỏa mãn: 1 2 1 2 2 1 x x x x + − = .

Lời giải a.

Bảng giá trị: ( ): 3 d y x = −

x 0 1 3 y x = − 3 − 2 −

Đường thẳng 3 y x = − đi qua 2 điểm ( ) 0; 3 A − và ( ) 1; 2 B − .

Đồ thị

b. Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 2 2 y x = − và đường thẳng 3 y x = − là

2 2 2 3 2 3 0 x x x x − = − ⇔− − + =

Ta có ( ) ( ) 2 1 4. 2 .3 25 0 ∆= − − − = > nên phương trình trên có hai nghiệm phân biệt

( ) ( ) 1 2 1 5 3 1 5 ; 1 2 2. 2 2 2 2. 2 b b x x a a −+ ∆ + − −− ∆ − = = = = = = − − .

Với 1 1 3 3 9 3 9 3 ; 2 2 2 2 2 x y A − − − − −   = ⇒ = − = ⇒    

.

Với ( ) 2 1 1 1 3 2 1; 2 x y B = ⇒ = − = −⇒ − .

Vậy hai giao điểm cần tìm là 3 9 ; 2 2 A − −      

và ( ) 1; 2 B − .

c.

1. Thay 0 m = vào phương trình (1) ta có: 2 2 3 0 x x − − = .

Ta có ( ) ( ) 1 2 3 0 a b c − + = −− + − = .

Suy ra phương trình có hai nghiệm 1 2 1, 3 c x x a − = − = = .

Vậy với 0 m = thì phương trình có tập nghiệm { } 1;3 S = − .

2. Xét phương trình ( ) 2 2 1 2 3 0 x m x m − + + − = (1)

Ta có ( ) ( ) 2 2 ' 1 2 3 4 0 m m m ∆= + − − = + > với mọi m .

Khi đó phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , x x .

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: ( ) 1 2

1 2

2 1

2 3

x x m

x x m

 + = +  = − 

.

Theo đề ( ) ( ) 1 2 1 2 7 2 1 2 1 2 2 3 1 2 8 1 2 7 2 x x x x m m m m m + − = ⇔ + − − = ⇔− + = ⇔ = ⇔ = .

Vậy 7 2 m = là giá trị cần tìm.

Câu 3. (1,5 điểm)

Giải các phương trình, hệ phương trình sau:

a. 4 2 3 2 0 x x − + = . b. 2 9 3 x y x y + =  − = 

.

Lời giải

a. 4 2 3 2 0 x x − + =

Đặt 2, 0 t x t = ≥ .

Khi đó phương trình đã cho trở thành 2 3 2 0 t t − + = (1)

Phương trình (1) có ( ) 1 3 2 0 a b c + + = + − + = nên có hai nghiệm phân biệt là 1 2 1 , 2 t t = = .

Với 2 1 1 1 1 t x x = ⇔ = ⇔ = ± .

Với 2 2 2 2 2 t x x = ⇔ = ⇔ = ± .

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm { } 1; 1; 2; 2 S = −− .

b.

( ) 2 3 9 2 9 2 9 3 3 3

3 6 9 1 1 3 3 4

y y x y x y x y x y x y

y y y x y x y x

+ + =  + = + =    ⇔ ⇔    − = = + = +     + = = =    ⇔ ⇔ ⇔    = + = + =   

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm ( ) ( ) ; 4;1 x y =

Câu 4. (3,5 điểm)

Cho đường tròn ( ) O đường kính AB . Dây cung MN vuông góc với AB , ( ) AM BM < . Hai

đường thẳng BM và NA cắt nhau tại K . Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ K đến đường thẳng AB .

a. Chứng minh rằng tứ giác AHKM nội tiếp trong một đường tròn.

b. Chứng minh rằng . . NB HK AN HB = .

c. Chứng minh HM là tiếp tuyến của đường tròn ( ) O . Lời giải