Đề thi vào lớp 10 môn Toán năm 2020 - 2021 trường chuyên Lê Quý Đôn - Đà Nẵng

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ------------------

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (2,0 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi giá trị dương, khác 1 của x thì biểu thức A không nhận giá trị nguyên, với:

1 1 1 3 4 1 1 4 2 9 x x x A x x x x x

                             

b) Xét các bộ   ; ; x y z thỏa mãn

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 x y z x y z a b c a b c        với , , a b c là các số thực khác 0.

Tính giá trị của biểu thức:

2020 2020 2020

2 2 2 2 2 2 . x y z Q b c c a a b   

Câu 2. (1,0 điểm) Trên đồ thị hàm số 2 0,5 , y x  cho điểm M có hoành độ dương và điểm N có hoành độ âm. Đường thẳng MN cắt trục Oy tại C với O là gốc tọa độ. Viết phương trình đường thẳng OM khi C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . OMN

Câu 3. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình:   3 2 3 3 3 2 28 4 7 0. x x x x x       

b) Giải hệ phương trình:

  2

2 2

3 4 3 3

. 8 6 1 2 9 3

x xy x y y

x y y x

           

Câu 4. (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình:

   2 2 2 2 2 2 15 2 3 2 14 0 x x m m x x m m        

có bốn nghiệm phân biệt 1 2 3 4 , , , x x x x thỏa mãn 2 2 2 2 1 2 3 4 2 3 3 . x x x x x x    

Câu 7. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn    , B C  nội tiếp đường tròn tâm . O Các đường cao xuất phát từ

B và C lần lượt cắt đường thẳng AO lần lượt tại D và . E Gọi H là trực tâm giác ABC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . HDE Chứng minh rằng:

a) Tam giác HDE đồng dạng với tam giác ABC và AH là tiếp tuyến của  . O

b) Đường thẳng AO đi qua trung điểm của đoạn . BC

Câu 6. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn  , AB AC  nội tiếp đường tròn tâm . O Kẻ đường phân giác , AD

  D BC  của tam giác đó. Lấy điểm E đối xứng với D qua trung điểm của đoạn . BC Đường thẳng vuông góc

với BC tại D cắt AO ở , H đường thẳng vuông góc với BC tại E cắt ở AD tại . K Chứng minh rằng tứ giác BHCK nội tiếp. Câu 7. (1,0 điểm) Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn 3. x y z   Chứng minh rằng:

     

2 2 2 2 2 2

3 2 . x y y z z x x y y z z x xy x y yz y z zx z x xy yz zx

                        

---------------------- HẾT ----------------------

Câu 1.

a) Với 0 x  và 1, x  ta có:

      

2 2

1 1 1 3 4 1 1 4 2 9

1 1 1 1 4 2 9 1 1

4 1 1 1 1 . 1 4 2 9 2 9

x x x A x x x x x

x x x x x x x x

                                                               

s

Vậy 1 1 . 2 9 A x x 

 

Nếu A thì   1 2 9 x x    mà:  

2 2 9 1 8 1 x x x     nên A không thể là số nguyên.

b) Ta có:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 , x x y y a a b c b a b c       và

2 2

2 2 2 2 . z z c a b c   

Từ đó suy ra:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . x y z x y z x y z a b c a b c a b c a b c a b c                

Do đó đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0. x y z   

Từ đó 0. Q 

Câu 2.

Ta gọi:       2 2 ; 0,5 , ; 0,5 , ; C C M m m N n n C x y   trong đó 0. m 

Do C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN mà C MN  nên tam giác OMN vuông tại O và C là

trung điểm . MN Khi đó 2 2 2 . 0,5 0,5 2

C

C

m n x

m n y

         

Ta có: C Oy  nên 0 C x  suy ra . m n  Khi đó

2 0; . 2 m C

          

Suy ra:

2

, . 2 m OC OM m  

Mặt khác C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN nên:

2

2 2 m OC OM m m      do 0. m 

Suy ra   2; 2 . M  Phương trình đường thẳng OM có dạng y ax  mà đi qua điểm   2; 2 M  nên 1. a 

Vậy y x  là đường thẳng cần tìm.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ------------------

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN (chuyên) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)