Đề thi vào 10 môn Toán năm 2020 - 2021 trường THPT chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA -------------------

NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN (chuyên) Ngày thi: 17/07/2020 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2,0 điểm)

a) Cho , , a b c là ba số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện 1 a b c  và 1 1 1 1. a b c   

Chứng minh rằng trong ba số , , a b c có ít nhất một số bằng 1.

b) Cho , , x y z là ba số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện 2045 x y z   và

      3 3 3 18 7 2020 0. x y z      

Tính giá trị của biếu thức:       2021 2021 2021 18 7 2020 . F x y z      

Câu 2. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình:

2 1 35 1 . 12 1 x x   

b) Giải hệ phương trình:

2

2 2 3 4 3 3 . 4 18 7 16

xy y x x

y y x x

          

Câu 3. (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên   ;x y thỏa mãn    2 4 2 2 2 1 2 . xy x x x y     

b) Chứng minh rằng nếu 2 10 n a b   với , , a b n là các số tự nhiên thỏa mãn 0 10 b   và 3 n  thì ab chia hết cho 6.

Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có  0 45 . BAC  Về phía ngoài tam giác ABC dựng các hình vuông ABMN và . ACPQ Đường thẳng AQ cắt đoạn thẳng BM tại , E đường thẳng AN cắt đoạn thẳng CP tại . F

a) Chứng minh tứ giác EFQN nội tiếp được một đường tròn.

b) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng . EF Chứng minh I là tâm đường trong ngoại tiếp tam giác . ABC

c) Đường thẳng MN cắt đường thẳng PQ tại . D Các đường tròn ngoại tiếp tam giác DMQ và DNP cắt nhau tại K với . K D  Các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại B và C cắt nhau tại .J Chứng minh bốn điểm , , , D A K J thẳng hàng.

Câu 5. (1,0 điểm)

Trên một đường tròn người ta lấy 2024 điểm phân biệt, các điểm được tô màu xanh và màu đỏ xen kẽ nhau. Tại mỗi điểm ta ghi một số thực khác 0 và 1 sao cho quy tắc sau được thỏa mãn “số ghi tại điểm màu xanh bằng tổng của hai số ghi màu đỏ kể nó; số ghi màu đỏ bằng tích của hai số ghi tại hai điểm màu xanh kế nó”. Tính tổng của 2024 số đó.

------------------------------------------HẾT------------------------------------------

Câu 1.

a) Ta có: 1 1 1 1 . ab bc ca abc a b c      

Khi đó         1 1 1 1 0. a b c a b c ab bc ca abc          

Suy ra:     1 1 1 0. a b c    

Đẳng thức này chứng tỏ một trong ba số , , a b c có ít nhất một số bằng 1.

b) Đặt 18, 7 a x b y    và 2020. c z  Khi đó ta có: 3 3 3 0 . 0

a b c

a b c

     

Do đó: 2021 2021 2021. F a b c   

Ta có:    3 3 3 2 2 2 3 0. a b c abc a b c a b c ab bc ca           

Suy ra 3 3 3 3 0. abc a b c     Không mất tính tổng quát giả sử 0. a 

Khi đó ta có: 3 3 . b c b c   

Suy ra  

2021 2021 2021 2021 2021 0 0. F a b c c c       

Vậy 0. F 

Câu 2.

a) Điều kiện xác định: 1. x  Ta có:

2 35 1 1 0 0. 12 1 x x x     

Do đó 1. x 

Bình phương hai vế của phương trình đã cho, ta được:

      

2 2 2

4 2

2 2

2 2

2 2

2 4 2

2

2 1 1225 1 1 144 1 2 1225 0 1 144 1

49 25 0 12 12 1 1

25 144 625 625 0 12 1 5 4 4 5 4 5 3 5 3 5 0 1 . 5 3

x x x x x x x

x x

x x

x x x x

x x x x x x

    

                              

                  

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ------------------- NĂM HỌC 2020 – 2021 Môn: TOÁN (chuyên) Ngày thi: 17/07/2020 Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề)