Đề tuyển sinh 10 môn Toán (chuyên) năm 2020 2021 trường PTNK TP HCM

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Năm học 2020 -2021 HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10 Môn thi: TOÁN (chuyên)

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu 1. (2,0 điểm)

Cho các phương trình 2 3 0 x ax   và 2 5 0 x bx   với ,a b là tham số.

a) Chứng minh rằng nếu 16 ab  thi hai phương trình trên có ít một phương mình có nghiệm.

b) Giả sử hai phương trình trên có nghiệm chung 0. x Tìm ,a b sao cho a b  có giá trị nhỏ nhất.

Câu 2. (1,5 điểm)

Cho phương trình 2 2 3 2 3n x y   với n là số tự nhiên.

a) Chứng minh rằng nếu n chẵn thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên   ; . x y

b) Chứng minh rằng nếu n lẽ thì phương trình đã cho có nghiệm nguyên   ; . x y

Câu 3. (3,5 điểm)

Cho đường tròn , O dây cung BC không chứa O và điểm A thay đổi trên cung lớn . BC Lấy các điểm E và

F thỏa mãn     0 90 . ABE CAE ACF BAF     a) Chứng minh . AE AB AF AC   

b) Hạ AD vuông góc với  . EF D EF  Chứng minh các tam giác DAB và DAC đồng dạng và điểm D thuộc

một đường tròn cố định.

c) Gọi G là giao điểm của AD với đường tròn   , . O G A  Chứng minh AD đi qua một điểm cố định và

. GB AC GC AB    d) Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác . AEF Chứng minh AK đi qua một điểm cố định. Câu 4. (1,5 điểm)

Cho số tự nhiên 13 7 20 3 5 7 . a    a) Gọi A là tập hợp các số nguyên dương k sao cho k là ước của a và k chia hết cho 105. Hỏi tập hợp A có bao nhiêu phần tử? b) Giả sử B là một tập con bất kỳ của A có 9 phần tử. Chứng minh ta luôn có thể tìm được 2 phần tử của B sao tích của chúng là số chính phương. Câu 5. (1,5 điểm) Cho hệ phương trình với k là tham số:

.

x x x k y z yz

y y y k z x zx

z z z k x y xy

            

a) Giải hệ với 1. k  b) Chứng minh hệ vô nghiệm với 2 k  và 3. k 

--------------------- HẾT ---------------------

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. a) Điều kiện xác định của : M 0. x  Với điều kiện này, ta có:

( ) ( )( )

3 8 2 2 4 2. 2 4 2 4

x x x x M x x x x x

− − + + = = = − + + + +

Do đó phương trình 4 M x   tương đương:

   2 4 2 0 2 1 0 2 4 x x x x x x x x              thỏa 0. x 

Vậy 4 x  là giá trị duy nhất cần tìm. b) Điều kiện để ba biểu thức , , M N P cùng xác định là 0 x  và 4. x 

Ta có:       

       

3 3 1 1 2 3 1 2 2 . 4 3 1 4 3 1 4 2 2

x x x N x x x x x x x

              

Do đó, ta có:    

2 2 2 1. 2 2 2 2 2

x x Q x x x x x x            

Vậy 1. Q 

Câu 2.

a) Điều kiện: 0 x  và 1. x  Phương trình tương đương  4 2 4 5 0 1 x x   hoặc 3 3 . x x  

Ta có:     2 2 1 1 5 0. x x     Do 0 x  và 1 x  nên phương trình này vô nghiệm.

Lại có       2 3 3 2 3 3 1. 1 6 0 3 3

x x x x x x x x x

                         

Nhưng 0 x  và 1 x  nên

phương trình này vô nghiệm. Tóm lại phương trình đã cho vô nghiệm.

b) Điều kiện để  d và  1d cắt nhau là 1. m  Ta lại có I thuộc  d và   1 , d nên ta có hệ:

9 4 9 . 4 3 2 6 3

m m m n mn n

                  

Do đó 27 4 mn  và 3. 4 m n 

c) Độ dài đường chéo AC bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD nên 10 ( ). AC cm 

Đặt ( ) AB a cm  và ( ) BC b cm  với , 0. a b  Khi đó diện tích hình chữ nhật ABCD là   2 . ab cm

Theo giả thiết ta có:   2 28 14. a b a b    

Lại có 2 2 2 100. a b AC   

Suy ra:     2 2 2 2 14 100 48. 2 2

a b a b ab       

Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD bằng   2 48 . cm

Câu 3.