Đề Toán tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên 2018 - 2019 sở GD và ĐT Nam Định (đề chung)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

NAM ĐỊNH

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN

Năm học: 2018 – 2019 Môn thi: Toán (chung) – Đề 1 Dành cho học sinh thi vào các lớp chuyên tự nhiên

Thời gian làm bài: 120 phút

(Đề thi gồm: 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm) 1) Giải phương trình 2 3 x x   .

2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1 2 ( ) y x d  và 2 3 3 ( ) 2 y x d   . Gọi A,

B lần lượt là giao điểm của (d1), (d2) với trục Oy và C là giao điểm của (d1) với (d2). Tính diện tích tam giác ABC. 3) Cho tam giác ABC có 8( ), 17( ), 15( ) AB cm BC cm CA cm    . Tính chu vi đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 4) Một hình nón có chu vi đường tròn đáy là 6 ( ) cm  , độ dài đường sinh là 5( ) cm . Tính thể tích hình nón đó.

Câu 2 (1,5 điểm) Cho biểu thức 1 1 1 : x x P x

x x x x

                  (với 0 x  và 1 x ).

1) Rút gọn biểu thức P. 2) Chứng minh rằng với mọi 0 x  và 1 x  thì 4 P  . Câu 3 (2,5 điểm) 1) Cho phương trình 2 2 4 0 x mx m m      (với m là tham số). a) Chứng minh với mọi giá trị của tham số m, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt. b) Gọi 1 2 , x x là hai nghiệm của phương trình đã cho 1 2 ( ) x x  . Tìm tất cả các giá trị của tham

số m để 2 1 2 x x   .

2) Giải phương trình 2 6 2 3 3 3 1 4 6 x x x x x         . Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC (với AB < AC) ngoại tiếp đường tròn (O; R). Đường tròn (O; R) tiếp xúc với các cạnh BC, AB lần lượt tại D, N. Kẻ đường kính DI của đường tròn (O; R). Tiếp tuyến của đường tròn (O; R) tại I cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại E, F. 1) Chứng minh tam giác BOE vuông và 2 . . EI BD FI CD R   . 2) Gọi P, K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, AD; Q là giao điểm của BC và AI. Chứng minh 2 AQ KP  . 3) Gọi A1 là giao điểm của AO với cạnh BC, B1 là giao điểm của BO với cạnh AC, C1 là giao điểm của CO với cạnh AB và (O1; R1) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chứng minh:

1 1 1 1 1

1 1 1 2 AA BB CC R OO     .

Câu 5 (1,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2 2 (2 4 1) 2 1 (4 2 3) 2

8 5 2(3 2) 4 3 2 2 5 2

x y x y x y x y

x x y x y x x

                 (1) (2)

2) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 2 2 7 ab bc ca    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

2 2 2 11 11 12

8 56 8 56 4 7

a b c Q a b c

        .

-------------------- HẾT --------------------

Họ và tên thí sinh: ............................................. Họ tên, chữ kí GT 1: ........................... Số báo danh: ...................................................... Họ tên, chữ kí GT 2: ...........................

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM DỰ KIẾN:

Câu Phần Nội dung Điểm

Câu 1 (2,0đ)

1)

2 3   x x (1) (ĐK: x 0  )

2 2 1 (1) 2 3 2 3 0 ( 1)( 3) 0 3

              

x x x x x x x x

Kết hợp với điều kiện x 3   Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.

0.5

2)

Đường thẳng (d1) đi qua các điểm (0; – 2) và (– 2; 0) Đường thẳng (d2) đi qua các điểm (0; 3) và (– 2; 0) Theo đề bài, ta có: A(0; – 2) , B(0; 3) , C(– 2; 0) CO = 2; AB = 5 Diện tích của ABC là:

AB.OC 5.2 S 5 2 2    (đơn vị diện tích)

0.5

3)

Ta có: BC2 = 172 = 289 AB2 + AC2 = 82 + 152 = 289 BC2 = AB2 + AC2 ABC vuông tại A (định lí Py-ta-go đảo) Vẽ (O; R) nội tiếp ABC, (O) tiếp xúc AB, AC, BC lần lượt tại D, E, F. Tứ giác ADOE có    0 DAE ADE AED 90    Tứ giác ADOE là hình chữ nhật Lại có OD = OE = R Tứ giác ADOE là hình vuông AD = OD = R Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AD = AE, BD = BF, CE = CF AB + AC = AD + BD + AE + CE = AD + BF + AD + CF = 2AD + BC AD = (AB + AC – BC) : 2 = (8 + 15 – 17) : 2 = 3(cm) R = 3cm.

0.5

4)

Bán kính đường tròn đáy là:

C 6 r 3 2 2       (cm)

Gọi  là độ dài đường sinh, h là chiều cao của hình nón Áp dụng định lí Py-ta-go, ta có:

2 2 2 2 h r 5 3 4       (cm)

0.5

F

O

A

B

C

D

E

4

2

2 d2

d1

y

x C

B

A

O