Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm học 2017 - 2018 môn Toán trường THPT chuyên Quốc học - TT Huế (chuyên Tin)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2017

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TIN) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (1,5 điểm)

Cho biểu thức:

2 a 1 a a 1 a a a a 1 M a a a a a a           với a > 0, a  1.

a) Chứng minh rằng M 4. 

b) Tìm tất cả các giá trị của a để biểu thức 6 N M  nhận giá trị nguyên.

Câu 2: (1,5 điểm)

Cho parabol 2 (P) : y 2x  và đường thẳng (d) : y ax b.  

a) Tìm điều kiện của b sao cho với mọi số thực a, parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt. b) Gọi A là giao điểm của (P) và (d) có hoành độ bằng 1, B là giao điểm của (d) và trục tung. Biết rằng tam giác OAB có diện tích bằng 2, tìm a và b. Câu 3: (2,0 điểm) a) Cho phương trình 2 x 2(m 3)x 2m 5 0      (x là ẩn số). Tìm tất cả các giá trị của tham

số m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2 thỏa mãn

1 2

1 1 4 3 x x   .

b) Giải phương trình: 2 2 1 3 1 x x x 2 x 3x 2       .

Câu 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn   O;R và hai đường kính AB,CD vuông góc với nhau, M là điểm thuộc cung CD

không chứa A của   O;R (M không trùng với hai điểm C và D). Đường thẳng AM cắt CD tại N.

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CMN. Đường thẳng IM cắt đường tròn   O;R tại K. a) Chứng minh tam giác INC vuông cân tại I. Từ đó suy ra ba điểm I,B,C thẳng hàng.

b) Tính tỉ số

2 2 R OI . IM.IK 

c) Tìm vị trí của điểm sao cho tích IM.IK có giá trị lớn nhất. Câu 5: (2,0 điểm) a) Tìm tất cả các số nguyên x,y,z không âm thỏa mãn xyz xy yz zx x y z 2017.       

b) Bên trong hình vuông cạnh bằng 1, lấy 9 điểm phân biệt tùy ý sao cho không có bất kỳ 3 điểm nào trong chúng thẳng hàng. Chứng minh rằng tồn tại 3 điểm trong số đó tạo thành

một tam giác có diện tích không vượt quá 1 8 .

------- Hết -------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:………………………………Số báo danh:………………………………… Chữ ký của giám thị 1:…………………………Chữ ký của giám thị 2 :……………………...

Trang 1/4

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC NĂM HỌC 2017-2018 Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2017

ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN (CHUYÊN TIN) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

HƯỚNG DẪN CHẤM – ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM (Nội dung có 04 trang) Câu Đáp án Điểm

1 (1,5 điểm)

Cho biểu thức:

2 a 1 a a 1 a a a a 1 M a a a a a a           với a > 0, a  1.

a) Chứng minh rằng M 4. 

0,75

Ta có

2 a 1 a a 1 a a a a 1 M a a a a a a          

Do a > 0, a  1 nên: a a 1 ( a 1)(a a 1) a a 1 a a a( a 1) a           0,25

2 a a a a 1 (a 1)(a 1) a(a 1) (a 1)(a a 1) a a 1 a a a a(1 a) a(1 a) a                  

Nên a 1 a a 1 a a 1 a 2 a 1 a 1 M 2. a a a a a              

0,25

Do a 0, a 1   nên: 2 ( a 1) 0 a 1 2 a      2 a M 2 4. a    0,25

b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức 6 N M  nhận giá trị nguyên? 0,75

Ta có 6 3 0 N M 2    do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1. 0,25

Khi đó 6 a N 1 1 a 4 a 1 0 a 1 2 a     

a 2 3 hay a 2 3      0,25

a 7 4 3    hoặc a 7 4 3   . 0,25

2 (1,5 điểm)

Cho parabol 2 (P) : y 2x  và đường thẳng (d) : y ax b.  

a) Tìm điều kiện của b sao cho với mọi số thực a , parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt.

0,5

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là: 2 2 2x ax b 2x ax b 0 (1)      

(1) là phương trình bậc 2 có 2 a 8b.   0,25

Với mọi a , parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt 0  với mọi a 

2 a 8b 0    với mọi a 

2 a b 8   với mọi a  b 0   .

Điều kiện của b để với mọi a , parabol (P) luôn cắt đường thẳng (d) tại hai điểm phân biệt là b 0. 

0,25