Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên năm học 2017 - 2018 môn Toán trường chuyên Lê Quý Đôn - Bình Định (Chuyên Toán)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN BÌNH ĐỊNH NĂM HỌC 2017 - 2018 TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN Đề chính thức Môn: TOÁN (Chuyên toán) Ngày thi: 04/06/2017 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Bài 1: (2,0 điểm)

Cho biểu thứ c A =

2 x 2 x 2 x 2x 1 x 1 2 x 2 x 1

                a) Tı̀m điều kiê ̣n của x để biểu thứ c A có nghı̃a. Rút gọn A b) Tı̀m x để A  0 c) Tı̀m giá tri ̣ lớn nhất của A.

Bài 2: (2,0 điểm) 1) Giải phương trı̀nh sau: 4 3 2 4x 4x 20x 2x 1 0     

2) Chứ ng minh rằng nếu số tự nhiên abc là số nguyên tố thı̀ 2 b 4ac  không là số chı́nh phương.

Bài 3: (1,0 điểm) Cho đa thứ c f(x) = 2 x – 2(m + 2)x + 6m + 1 (m là tham số). Bằng cách đă ̣t x = t + 2. Tı́nh f(x) theo t và tı̀m điều kiê ̣n của m để phương trı̀nh f(x) = 0 có hai nghiê ̣m lớn hơn 2.

Bài 4: (4,0 điểm) 1. Cho đường tròn (T) tâm O đường kı́nh AB, trên tiếp tuyến ta ̣i A lấy một điểm P khác A, điểm K thuộc đoa ̣n OB (K khá c O và B). Đường thẳng PK cắt đường tròn (T) ta ̣i C và D (C nằm giữa P và D), H là trung điểm của CD. a) Chứ ng minh tứ giác AOHP nội tiếp được đường tròn. b) Kẻ DI song song với PO, điểm I thuộc AB, chứ ng minh:   PDI = BAH

c) Chứng minh đẳng thứ c 2 PA = PC.PD d) BC cắt OP ta ̣i J, chứ ng minh AJ song song với DB.

2. Cho tam giác ABC vuông ta ̣i A. Từ điểm I thuộc miền trong tam giác, kẻ IM  BC, kẻ IN  AC, IK  AB. Tı̀m vi ̣ trı́ của I sao cho tổng 2 2 2 IM + IN + IK nhỏ nhất.

Bài 5: (1,0 điểm) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz  1.

Chứng minh rằng:       3 3 3

3 3 3 x 1 y y 1 z z 1 x 0 y z x

     

Bài 1: a) Điều kiê ̣n để A có nghı̃a là x  0 và x  1

A =

2 x 2 x 2 x 2x 1 x 1 2 x 2 x 1

                =

    

 

2

2 x 1 x 2 x 2 2 x 1 x 1 x 1

                

=   

  

  

  

 

2

2 2 x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1

                   

=

  

      

2 2 x x 1 x 1 x 1 x x 2 x x 2. 2 x 1 x 1 2 x 1

             = – x + x

b) A  0  – x + x  0  x – x  0  x   x 1   0  0  x  1

0  x  1. Kết hợp với điều kiê ̣n ban đầu x  0 và x  1. Ta được: 0  x < 1

c) A = – x + x =

2 1 1 1 x 2 4 4           với mọi x

Dấu “=” xảy ra khi 1 x 2  = 0  1 1 x x 2 4    (TMĐK x  0 và x  1)

Vâ ̣y GTLN của A là 1 4 khi x = 1 4

Bài 2: 1) x = 0 không phải là nghiê ̣m của phương trı̀nh nên x  0. Do đó chia cả hai vế phương trı̀nh cho

2 x  0, ta được: 2 2 1 1 4x 2 2x 20 0 x x                  (1)

Đă ̣t: y = 1 2x x  2 2 2 1 4x y 4 x     .

Do đó PT (1) trở thành: 2 y 2y 24 0     y = – 6 ; y = 4

Với y = – 6 ta có: 1 2x x  = – 6  2 1 2 3 7 3 7 2x 6x 1 0 x ; x 2 2        

Với y = 4 ta có: 1 2x x  = 4  2 1 2 2 2 2 2 2x 4x 1 0 x ; x 2 2        

Vâ ̣y phương trı̀nh đã cho có tâ ̣p nghiê ̣m là: S = 3 7 3 7 2 2 2 2 ; ; ; 2 2 2 2

             

Cách 2: 4 3 2 4x 4x 20x 2x 1 0        4 3 2 2 4x 4x x 21x 2x 1 0       

    2 2 2 2 2x x 2 2x x 1 25x        

2 2 2 2x x 1 25x    





2 2

2 2 2x 4x 1 0 1 2x x 1 5x

2x x 1 5x 2x 6x 1 0 2

                   

PT (1): 2 1 2 2 2 2 2 2x 4x 1 0 x ; x 2 2        

PT (2): 2 1 2 3 7 3 7 2x 6x 1 0 x ; x 2 2        

Vâ ̣y phương trı̀nh đã cho có tâ ̣p nghiê ̣m là: S = 3 7 3 7 2 2 2 2 ; ; ; 2 2 2 2

             

2) Chứ ng minh bằng phản chứ ng. Giả sử 2 b 4ac  là số chı́nh phương   2 m m N 

Xét 4a.abc = 4a(100a + 10b + c) = 2 400a + 40ab + 4ac =     2 2 20a + b b 4ac  