Các bài toán chứng minh cực trị hình học

Chủ đề 7: Cực trị hình học

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

1

F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC

MỤC LỤC F. CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH CỰC TRỊ HÌNH HỌC ............................................ 1

A. Phương pháp giải bài toán cực trị hình học. ................................................................... 2

1. Dạng chung của bài toán cực trị hình học: ................................................................... 2

2. Hướng giải bài toán cực trị hình học: ........................................................................... 2

3. Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học . ...................................................... 2

B. Các kiến thức thường dùng giải bài toán cực trị hình học. .......................................... 3

1. Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu. ........................ 3

2. Sử dụng quan hệ giữa đường thẳng và đường gấp khúc. ......................................... 7

3. Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn. ............................................................. 9

4. Sử dụng bất đẳng thức về lũy thừa bậc hai . ............................................................ 10

5. Sử dụng bất đẳng thức Cô-si . ....................................................................................... 12

6. Sử dụng tỉ số lượng giác. ............................................................................................... 15

C. Một số bài toán ôn luyện có hướng dẫn ......................................................................... 18

D. Bài tập tự luyện .................................................................................................................. 36

E. Rèn luyện tổng hợp ............................................................................................................ 41

Chủ đề

7

CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH

CỰC TRỊ HÌNH HỌC

Chủ đề 7: Cực trị hình học

Toán Họa: 0986 915 960 – Tổng hợp.

2

A. Phương pháp giải bài toán cực trị hình học.

1. Dạng chung của bài toán cực trị hình học:

“Trong tất cả các hình có chung một tính chất, tìm những hình mà một đại lượng nào đó (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích …) có giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất.” và có thể được cho dưới các dạng :

a) Bài toán về dựng hình.

Ví dụ: Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn, xác định vị trí của dây đi qua điểm P sao cho dây đó có độ dài nhỏ nhất.

b) Bài toán vể chứng minh.

Ví dụ: Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đường tròn (O), dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất.

c) Bài toán về tính toán.

Ví dụ: Cho đường tròn (O;R) và điểm P nằm trong đường tròn có OP = h , tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P.

2. Hướng giải bài toán cực trị hình học: a) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn nhất ta phải chứng tỏ được :

+ Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m ≤ ( m là hằng số )

+ Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f m =

b) Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất ta phải chứng tỏ được :

+ Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f m ≥ ( m là hằng số )

+ Xác định vị trí của hình H trên miền D để f m =

3. Cách trình bày lời giải bài toán cực trị hình học .

+ Cách 1: Trong các hình có tính chất của đề bài, chỉ ra một hình rồi chứng minh mọi hình khác đều có giá trị của đại lượng phải tìm cực trị nhỏ hơn (hoặc lớn hơn) giá trị của đại lượng đó của hình đã chỉ ra.