Đề Thi HSG Môn Toán 9 Quảng Nam 2022-2023 Có Đáp Án

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

(Đề gồm có 01 trang)

KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS

NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19/4/2023

Câu 1. (4,0 điểm)

a) Cho biểu thức

2 ( 2) 8 32 4 5 6 A : 2 4 8 2 4 3 x x x x x x x x x x x x

                  

, với 0 x  và

4. x  Rút gọn biểu thức A và tìm x để A 2 3. x x   

b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình 2 2 3 0 x x m     có nghiệm 1 2 , x x và tìm

giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 B 2 x x x x x x     .

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Giải phương trình 2 3 2 2 3 1 0. x x x     

b) Giải hệ phương trình

2

3( ) ( 2 )(2 )

. 1 1 3 2 (2 )

x y x y x y

x y x y

          

Câu 3. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) có hai đường cao BE và CF, M là trung điểm của BC. Hạ MN vuông góc với EF tại N, hai đường thẳng MN và AB cắt nhau tại D.

a) Chứng minh N là trung điểm của EF và   DEF MEC  . b) Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AM và EF, L là giao điểm của hai đường thẳng AN và BC. Chứng minh KL vuông góc với BC.

Câu 4. (4,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O), đường phân giác trong AD (D thuộc BC) cắt đường tròn (O) tại E (E khác A). Hạ BH vuông góc với AE tại H, đường thẳng BH cắt đường tròn (O) tại F (F khác B). Đường thẳng EF cắt hai đường thẳng AC, BC lần lượt tại K, M; hai đường thẳng OE và HK cắt nhau tại L.

a) Chứng minh tứ giác AHKF nội tiếp trong đường tròn. b) Chứng minh HB.LE = HE.LK. c) Hai tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADM tại A, M cắt nhau tại Q; tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A cắt đường thẳng BC tại P. Chứng minh PQ song song với AD.

Câu 5. (5,0 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố ( ; ) p q thỏa mãn: 2 1 p  chia hết cho q và 2 4 q  chia

hết cho p .

b) Cho ba số thực không âm , , x y z thỏa mãn 1. x y z    Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức

3 3 3

2 2 2 1 1 1 1 1 1 x x y y z z x y z              T

---------- HẾT ----------

* Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. * Họ và tên thí sinh: ………………………………….. Số báo danh: ……........

ĐỀ CHÍNH THỨC

Trang 1/5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH CẤP TỈNH THCS

Năm học 2022 - 2023

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN

Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm này có 05 trang) Câu Đáp án Điểm

Câu 1 (4,0 đ)

a) Cho biểu thức

2 ( 2) 8 32 4 5 6 A : 2 4 8 2 4 3 x x x x x x x x x x x x

                  

, với 0 x  và

4. x  Rút gọn biểu thức A và tìm x để A 2 3. x x   

2,5

2 2 ( 2) 8 32 4 ( 2) ( 2) (8 32) 4( 2 4) 2 4 8 2 8 x x x x x x x x x x x x x x x x                 

( 2)( 4) 8 32 4 8 16 8 x x x x x x x x        



0,5

( 2 )( 4) 4( 4) 8 x x x x x x     



( 4)( 2 4) 8 x x x x x    



( 2)( 2)( 2 4) 2 ( 2)( 2 4) x x x x x x x x          

0,5

5 6 ( 2)( 3) 2 4 3 ( 1)( 3) 1 x x x x x x x x x x             0,5

2 A ( 2) : 1 1 x x x x

      

A 2 3 1 2 3 3 2 0 x x x x x x x           

0,5

1 1

4 (loai) 2

x x

x x

          

Vậy 1 x  là giá trị cần tìm.

0,5

b) Tìm giá trị của tham số m để phương trình 2 2 3 0 x x m     có nghiệm 1 2 , x x và

tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức   2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 B 2 x x x x x x     . 1,5

2 ' ( 1) 1.( 3) 2 m m       0,25

+ Phương trình đã cho có nghiệm 1 2 , x x khi ' 0  2 0 2 m m      0,25

1 2 3 x x m   , 1 2 2 x x   0,25

2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 B 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2( 3) ( 3) ( 3) 3 8 x x x x x x x x m m m m m                         0,25

2 B ( 2) 4 m m     0,25

Ta có: 2 m  , 2 ( 2) 0 m m     suy ra B 2 4 6    , dấu bằng xảy ra khi 2 m  . Vậy giá trị nhỏ nhất của B bằng 6 khi 2 m  . 0,25