Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 11 Trại hè Hùng Vương lần thứ 18 năm 2024

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XVIII-HÒA BÌNH 2024 _______________________

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

LẦN THỨ XVIII, NĂM 2024 ĐỀ THI MÔN: TOÁN, KHỐI 11

Ngày thi: 02/8/2024 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm: 01 trang

___________________________________________________________________________________________________________

Chú ý: Thí sinh làm mỗi bài toán trên một tờ giấy thi.

Bài 1 (4,0 điểm). Cho a là số thực, xét dãy số ( ) n u xác định bởi: 2 0 1 , , . n n n u a u u u n      

Đặt

1 2

1 1 1 , 1. 1 1 1 n n S n u u u          Tìm tất cả các giá trị của a để dãy ( ) n S có giới

hạn hữu hạn và tính giới hạn đó theo . a

Bài 2 (4,0 điểm). Cho đường tròn ( ) O đường kính . AB Điểm M thuộc tia đối của tia AB (M khác ). A Kẻ đường thẳng qua M cắt ( ) O tại C và D (C nằm giữa M và ). D Gọi N là giao điểm của AC và , BD I là giao điểm của AD và . BC Đường thẳng đi qua M vuông góc với AB cắt , AD BC lần lượt tại , . E F Đường tròn ( ) IEF cắt NI tại điểm thứ hai là . J

) a Chứng minh rằng , , F A J thẳng hàng.

) b Gọi P là điểm đối xứng với I qua . O Đường thẳng đi qua I song song với NP cắt AB tại ; Q đường thẳng đi qua Q song song với NI cắt , PA PB lần lượt tại , . R S Chứng minh rằng ( ) PRS

tiếp xúc với ( ). IEF

Bài 3 (4,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất của số nguyên dương k để tồn tại đa thức ( ) [ ] P x x  thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

)i ( ) P x có nghiệm nguyên; ) ii ( ) 2024 P x  có đúng k nghiệm nguyên phân biệt. Bài 4 (4,0 điểm). Cô giáo viết lên bảng 80 số thực phân biệt và đưa ra thử thách cho một nhóm học sinh. Mỗi bạn ban đầu được phát hai mảnh giấy và sẽ dựa theo các số trên bảng để thảo luận với nhau mà viết lên mỗi mảnh giấy nhận được một con số (các số không nhất thiết phân biệt và cũng không nhất thiết giống số nào đó của cô). Mỗi lượt thử thách cô giáo đọc một số x trên bảng và yêu cầu tất cả học sinh đều phải chọn một trong hai mảnh giấy của mình để giơ lên. Lượt thử thách được vượt qua nếu tổng tất cả các số trên các tờ giấy được giơ lên đúng bằng . x Nhóm học sinh được coi là vượt qua thử thách nếu vượt qua tất cả 80 lượt thử thách ứng với 80 số đã cho. ) a Chứng minh rằng cho dù cô giáo viết những số nào thì một nhóm gồm 79 bạn chắc chắn sẽ luôn có cách vượt qua thử thách. ) b Nếu cô viết các số 0,1, ,79  thì nhóm cần ít nhất bao nhiêu bạn để có thể vượt qua thử thách? Bài 5 (4,0 điểm). Một số nguyên dương h gọi là số “Hòa Bình” nếu tồn tại hai số nguyên ,x y thoả

mãn − + + = 2 2 3 ( 6 12)( 12 ) x x x h y và x lẻ. ) a Chứng minh rằng số 2 là một số “Hòa Bình”. ) b Tìm số “Hòa Bình” nhỏ nhất.

------------------------HẾT------------------------- (Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ tên thí sinh:…..……………………………………………………………................................... Số báo danh: …..…………………………. Phòng thi: …..………………………………………….

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XVIII – HÒA BÌNH 2024

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG NĂM 2024 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN, KHỐI 11

(Hướng dẫn chấm gồm có 06 trang)

Câu Ý Nội dung Điểm

Câu 1

Bài 1 (4,0 điểm). Cho a là số thực, xét dãy số ( ) n u xác định bởi:

2 0 1 , , . n n n u a u u u n      

Đặt

1 2

1 1 1 , 1. 1 1 1 n n S n u u u          Tìm tất cả các giá trị

của a để dãy ( ) n S có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó theo . a

Ta xét các trường hợp sau: TH1. 1 a  hoặc 0. a  Khi đó 0, 1. n u n    Suy ra

lim lim . n S n  

0,5

TH2. 1 0. a   Bằng quy nạp ta có 1 0, 1. n u n     Hay

0 1 1, 1. n u n     

Khi đó , 1. n S n n    Suy ra lim . n S 

1,0

TH3. 0. a  Khi đó ( ) n u là dãy tăng.

Giả sử ( ) n u bị chặn trên. Khi đó, theo Định lý Weierstrass, dãy ( ) n u hội

tụ. Đặt lim . n u b  Chuyển qua giới hạn công thức xác định dãy ta được

2 , 0

b b b

b

   

vô lý.

Vậy, ( ) n u không bị chặn trên. Do đó lim . n u 

1,0

Từ công thức xác định dãy ta lại có

1 (1 ), n n n u u u   …