Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 - 2025 sở GDĐT Hà Tĩnh

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH (Đề thi có 1 trang, gồm 4 bài)

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI

QUỐC GIA THPT NĂM HỌC 2024 − 2025

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 180 phút

Ngày thi: 18/09/2024

Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số ( ) n u xác định bởi:

( ) * 1 1 2024 1 2025, 1 , 2025 1 n n n u a u u n n + + = ≥ = + ∀∈ + 

a) Chứng minh rằng dãy ( ) n u có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b) Tính ( ) lim 2024 . n n n u →+∞ −

Bài 2. (5 điểm) Xét hàm số : f →   khác hàm hằng thoả mãn

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1, , f xf y y f x y f y f xy x y + + + = + + ∀ ∈

a) Chứng minh rằng với mọi , x∈ ( ) 1 f x = − khi và chỉ khi 0. x =

b) Tìm tất cả các hàm số f thoả mãn điều kiện trên.

Bài 3. (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn ( ) O có các đường

cao , AD , BE . CF Gọi bA là điểm đối xứng của B qua , F cA là điểm đối xứng của C qua . E Gọi X là giao điểm của DE và , AB Y là giao điểm của DF và . AC

a) Chứng minh rằng bốn điểm , , , b c X Y A A cùng thuộc một đường tròn.

b) Gọi c B là điểm đối xứng của C qua , D a B là điểm đối xứng của A qua , F a C là

điểm đối xứng của A qua , E b C là điểm đối xứng của B qua . D Chứng minh rằng bán

kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác , b c AA A , c a BB B a b CC C bằng nhau.

Bài 4. (5 điểm) Với x và y nguyên, x y ∣là ký hiệu y chia hết cho x .

a) Có tồn tại hay không các số nguyên , , a b c lớn hơn 1 và thoả mãn đồng thời ba tính

chất: 2 1, b a − ∣ 2 1 c b − ∣ và 2 1 a c − ∣ .

b) Tìm tất cả cặp số nguyên dương ( ) ,a b sao cho 1. a b a b − ∣

---------------------HẾT-------------------- - Thí sinh không được sử dụng tài liệu. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…………………………………Số báo danh:…………………………………..

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSGQG

NĂM HỌC 2024 – 2025 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN Chú ý : - Mọi cách giải đúng, ngắn gọn đều cho điểm tương ứng. - Điểm toàn bài không qui tròn. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM

Câu 1a 2,0đ

Dễ thấy * 0, n u n > ∀∈. Ta c/m * 1 2024 , n u n n ≥ + ∀∈ bằng quy nạp. 0,5

Khi 1 n = , khẳng định đúng do giả thiết. Giả sử khẳng định đúng với n . Thế thì

( ) 1 2024 1 2024 1 1 2024 1 1 1 2025 2024 . 2025 1 2025 1 1 n n n n n u u n n n n n + + + +   = + ≥ + ≥ > +   + + +  

Vì vậy khẳng định đúng với 1 n + . Theo nguyên lí quy nạp ta suy ra

* 1 2024 , . n u n n ≥ + ∀∈

0,5

Vì vậy, xét 1 2024 1 0 2025 1 2025 1 n n n n n u u u n n + + − = − ≤ + +

* 1 , n n u u n + ⇒ ≤ ∀∈

( ) nu ⇒ là dãy không tăng.

Mà ( ) n u bị chặn dưới bởi 0 nên có giới hạn hữu hạn. Đặt lim 0. n n u L →∞ = >

0,5

Từ công thức truy hồi cho n →+∞ ta có ( ) 2024 1 2024. 2025 L L L = + ⇒ =

Vậy lim 2024. n n u →∞ =

0,5

Câu 1b 3,0đ

Bổ đề. Cho số thực (0;1) q∈ và hai dãy số thực không âm 1 1 ( ) , ( ) n n n n c a ≥ ≥ thỏa mãn: 1 , 1. n n n a qa c n + ≤ + ∀≥ Khi đó nếu lim 0 n n c →+∞ = thì lim 0. n n a →+∞ = 0,5

Chứng minh. Vì lim 0, n n c →+∞ = nên với mỗi 0 ε > tồn tại 0n ∈ sao cho

0 , . nc n n ε < ∀≥ Khi đó, với mọi 0 1 n n ≥ + ta có

2 1 2 2 ( ) ( 1) n n n n a qa q qa q a q ε ε ε ε − − − ≤ + ≤ + + = + + ≤

0 0 0

0 0

1 ( 1) 1

n n n n n n n n q a q q q a q ε ε − − − − ≤ + + + + < + −  (1)

0,5

Vì ( ) 0,1 q∈ nên 0

0 lim 0. n n n n q a −

→+∞ = Do đó tồn tại 1 0 n n ≥ sao cho

0

0 1 , n n n q a n n ε − < ∀≥ (2)

Từ (1) và (2) suy ra 1 2 , . 1 n q a n n q ε − < ∀≥ −

Do 1 ( ) n n a ≥ là dãy số thực không âm nên lim 0. n n a →+∞ =

0,5