Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2021 - 2022 sở GDĐT Tây Ninh

LỜI GIẢI ĐỀTHI HSG TOÁN THPT TỈNH TÂY NINH NĂM 2021

HồPhạm Quốc Toàn1

Email: hophamquoctoan@gmail.com

⋆⋆⋆⋆⋆

A. Đềbài (Ngày thi thứnhất)

Câu 1. (5.0 điểm)

1. Cho a, b, c là ba sốthực dương sao cho a + b + c = 3. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức

T = 9 9 −2 (ab + bc + ca) + 27

abc.

2. Cho n là sốnguyên dương, đặt Sn = 1 + 1

2 + 1

3 + . . . + 1

n. Chứng minh

1 S2 1 + 1 2S2 2 + 1 3S2 3 + . . . + 1 nS2 n < 2.

Câu 2. (5.0 điểm)

1. Tìm các hàm sốf : R →R biết hàm sốf liên tục trên R và thỏa mãn:

f(x)f(y) −f(x + y) = sinxsiny, ∀x, y ∈R.

2. Cho các hàm sốf, g xác định trên R và thỏa mãn:

f (x + g (y)) = 2x + y + 2021, ∀x, y ∈R.

Xác định biểu thức của g (x + f (y)) .

Câu 3. (5.0 điểm) Cho tam giác ABC có M, P lần lượt là các điểm trên các cạnh AC và BC sao cho MP song song với AB. Gọi D là giao điểm của AP và BM. Chứng minh đường thẳng CD vuông góc với đường thẳng đi qua trực tâm của tam giác ADM và tam giác BDP.

Câu 4. (5.0 điểm)

1. Tìm các nghiệm nguyên dương của phương trình:

x2y + (x + 1)2y = (x + 2)2y .

2. Tìm tất cảcác sốtựnhiên có ba chữsốsao cho mỗi sốlà trung bình cộng của các sốsuy ra từ sốđó bằng phép hoán vịtròn các chữsốcủa sốđó.

1K23 SP Toán - Trường Sư phạm, Trường ĐH Đồng Tháp

1

B. Lời giải (Ngày thi thứnhất)

Câu 1.

1. Cho a, b, c là ba sốthực dương sao cho a + b + c = 3. Tìm giá trịnhỏnhất của biểu thức

T = 9 9 −2 (ab + bc + ca) + 27

abc.

2. Cho n là sốnguyên dương, đặt Sn = 1 + 1

2 + 1

3 + . . . + 1

n. Chứng minh

1 S2 1 + 1 2S2 2 + 1 3S2 3 + . . . + 1 nS2 n < 2.

Lời giải.

1. Do a + b + c = 3 nên 9 −2 (ab + bc + ca) = (a + b + c)2 −2 (ab + bc + ca) = a2 + b2 + c2.

Khi đó

T = 9 a2 + b2 + c2 + 9(a + b + c)

abc = 9 1 a2 + b2 + c2 + 1

ab + 1

bc + 1

ca

.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng Engel, ta có:

1 ab + 1

bc + 1

ca ⩾ 9 ab + bc + ca.

Từđó suy ra

T ⩾9 1 a2 + b2 + c2 + 2 ab + bc + ca + 7 ab + bc + ca

.

Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức AM - GM cho bộ3 sốthực dương, ta thu được:

1 a2 + b2 + c2 + 1 ab + bc + ca + 1 ab + bc + ca ⩾3 1

3q

(a2 + b2 + c2) (ab + bc + ca)2.

Lại có

3q

(a2 + b2 + c2) (ab + bc + ca)2 ⩽a2 + b2 + c2 + 2 (ab + bc + ca)

3

⩽(a + b + c)2

3 = 3.

Do vậy nên 1 a2 + b2 + c2 + 2 ab + bc + ca ⩾1.

Bằng biến đổi tương đương ta dễdàng chứng minh được

(a + b + c)2 ⩾3 (ab + bc + ca)

2

Từđó, với chú ý rằng a + b + c = 3 nên ta thu được

1 ab + bc + ca ⩾1

3.

Do đó T ⩾9 + 21 = 30. Đẳng thức xảy ra khi và chỉkhi a = b = c = 1.

Vậy giá trịnhỏnhất của biểu thức T là 30, đạt được khi a = b = c = 1. ❑

Cách khác ™

Có thểtham khảo lời giải bài toán trên bằng khảo sát hàm sốcủa bạn Trang Quốc Cường - K24 CNTT, Trường ĐH Sài Gòn.

Đặt abc = t (t > 0). Áp dụng bất đẳng thức AM - GM, ta có được abc ⩽(a + b + c)3

27 = 1.

Suy ra 0 < t ⩽1. Và ab + bc + ca ⩾3 3√

a2b2c2 ⇒ab + bc + ca ⩾3 3√

t2. Từđó, suy ra

T ⩾ 9

9 −6 3√

t2 + 27

t , t ∈(0; 1] .

Khảo sát hàm sốf(t) = 9

9 −6 3√

t2 + 27

t trên (0; 1] và từđó tìm được Tmin = 30 tại

a = b = c = 1.

2. Với k ⩾2, k ∈N, ta có 1 Sk−1 −1

Sk = 1 kSk−1Sk > 1 kS2 k .

Áp dụng bất đẳng thức trên lần lượt với k = 2, 3, . . . , n và cộng theo vếcác bất đẳng thức, ta suy ra 1 2S2 2 + 1 2S2 3 + . . . + 1 nS2 n < 1 −1

Sn (do S1 = 1) .

⇒1

2S2 2 + 1 2S2 3 + . . . + 1 nS2 n < 1.

Từđó, ta cộng vào hai vếcủa bất đẳng thức trên với 1

S2 1 = 1, ta được

1 S2 1 + 1 2S2 2 + 1 3S2 3 + . . . + 1 nS2 n < 2.

Vậy ta hoàn tất chứng minh. ❑

Câu 2.

1. Tìm các hàm sốf : R →R biết hàm sốf liên tục trên R và thỏa mãn:

f(x)f(y) −f(x + y) = sinxsiny, ∀x, y ∈R.

2. Cho các hàm sốf, g xác định trên R và thỏa mãn:

f (x + g (y)) = 2x + y + 2021, ∀x, y ∈R.

Xác định biểu thức của g (x + f (y)) .

Lời giải.

3