Bài tập ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

1

PHẦN MỘT SỐ YẾU TỐ GIẢI TÍCH

Chương I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

A. Kiến thức cần nhớ

1. Tính đơn điệu

a) Nhắc lại về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f (x) xác định trên K.

• Hàm số y = f (x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K mà x1 < x2 thì f (x1) < f (x2). • Hàm số y = f (x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1, x2 thuộc K mà x1 < x2 thì f (x1) > f (x2).

o Nếu hàm số y = f (x) đồng biến trên K thì đồ thị của nó đi lên từ trái sang phải (Hình 1a).

o Nếu hàm số y = f (x) nghịch biến trên K thì đồ thị của nó đi xuống từ trái sang phải (Hình 1b).

1a) 1b)  Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi chung là đơn điệu trên K. b) Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số dựa vào xét dấu đạo hàm

Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K.

• Nếu f '(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f (x) đồng biến trên K.

• Nếu f '(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên K.

Chú ý:

 Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà chưa cho khoảng K, ta hiểu xét tính đơn điệu của hàm số đó

trên tập xác định của nó.

 Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K, f '(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f '(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn

điểm thì hàm số đồng biến trên K.

 Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K, f '(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f '(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn

điểm thì hàm số nghịch biến trên K.

c) Các bước xét tính đơn điệu của hàm số y = f (x):

o Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.

o Bước 2. Tính đạo hàm f '(x) của hàm số. Tìm các điểm x1; x2; ...; xn thuộc D mà tại đó đạo hàm f '(x)

bằng 0 hoặc không tồn tại.

o Bước 3. Sắp xếp các điểm x1; x2; ...; xn theo thứ tự tăng dần, xét dấu f '(x) và lập bảng biến thiên.

o Bước 4. Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

y y

O K K O x x

y = f ( x )

y = f ( x )

2

2. Cực trị của hàm số a) Định nghĩa Cho hàm số y f (x) = xác định trên tập hợp D và o x D ∈ .

▪ Nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm xo và ( ) a;b D ⊂ sao cho o f(x) f(x ) < với mọi

( ) { } o x a;b \ x ∈ thì o x được gọi là một điểm cực đại, ( ) o f x được gọi là giá trị cực đại của hàm số

y f (x) = , kí hiệu CĐ y .

▪ Nếu tồn tại một khoảng (a;b) chứa điểm xo và ( ) a;b D ⊂ sao cho o f(x) f(x ) > với mọi

( ) { } o x a;b \ x ∈ thì o x được gọi là một điểm cực tiểu, ( ) o f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số

y f (x) = , kí hiệu CT y .

a) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (còn gọi là cực trị) của hàm số. b) Nếu x là một điểm cực trị (điểm cực đại, điểm cực tiểu) của hàm số y = f (x) thì ta cũng nói hàm số

y = f (x) đạt cực trị (cực đại, cực tiểu) tại x.

c) Hàm số có thể đạt cực đại và cực tiểu tại nhiều điểm trên D. d) Nếu x là điểm cực trị của hàm số y = f (x) thì điểm M( x; f ( x)) là một điểm cực trị của đồ thị hàm số

y = f (x).

b) Tìm cực trị của hàm số bằng cách xét dấu đạo hàm Cho hàm số y = f (x) liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a; x)

và ( x; b). Khi đó:

• Nếu f '(x) < 0 với mọi x ∈ (a; x) và f '(x) > 0 với mọi x ∈ ( x; b) thì hàm số y = f (x) đạt cực tiểu tại

điểm x;

• Nếu f '(x) > 0 với mọi x ∈ (a; x) và f '(x) < 0 với mọi x ∈ ( x; b) thì hàm số y = f (x) đạt cực đại tại

điểm x.

c) Các bước tìm cực trị của hàm số y = f (x):

o Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số.

o Bước 2. Tính đạo hàm f '(x) của hàm số. Tìm các điểm x1; x2; …; xn thuộc D mà tại đó đạo hàm

f '(x) bằng 0 hoặc đạo hàm không tồn tại.

o Bước 3. Xét dấu f '(x). Nếu f '(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm xi (i = 1, 2, …) thì hàm

số đạt cực tiểu tại xi. Nếu f '(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm xi (i = 1, 2, …) thì hàm số đạt cực đại tại xi. Chú ý:

a) Nếu f '(x) = 0 nhưng không đổi dấu khi x qua điểm xi (i = 1, 2, …) thì hàm số không có cực trị tại xi. b) Nếu f …