Bài giảng ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số Toán 12 Cánh Diều

TOÁN 12‐CÁNH DIỀU

…………………………………………………………..... 2

CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I. NHẬN BIẾT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ BẰNG DẤU CỦA ĐẠO HÀM

Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau:

Cho hàm số ( ) y f x  có đạo hàm trên tập K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

- Nếu ( ) 0 f x   với mọi x thuộc K thì hàm số ( ) f x đồng biến trên K .

- Nếu ( ) 0 f x   với mọi x thuộc K thì hàm số ( ) f x nghịch biến trên K .

Chú ý: Nếu hàm số ( ) y f x  đồng biến trên tập K hoặc nghịch biến trên tập K thì hàm số ( ) y f x  còn được gọi là đơn điệu trên tập K .

Ví dụ 1. Xét dấu y rồi tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số 2 2 4 3 y x x   

Lời giải

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: 4 4 y x  

0 4 4 0 1. y x x       Ta có bảng xét dấu của y như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ( ;1)  ; nghịch biến trên khoảng (1; ) .

Ví dụ 2. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 3 2 3 9 1. y x x x    

Lời giải

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: 2 3 6 9 y x x    ;

2 1 0 3 6 9 0 . 3

x y x x x

         Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 1)  và (3; ) ; nghịch biến trên khoảng ( 1;3)  .

Trong trường hợp tổng quát, ta có định lí sau:

TOÁN 12‐CÁNH DIỀU

…………………………………………………………..... 3

Cho hàm số ( ) y f x  có đạo hàm trên tập K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng. Nếu ( ) 0 f x   (hoặc ( ) 0 f x   ) với mọi x thuộc K và ( ) 0 f x   chi tại một số hữu hạn điểm của K thì hàm số ( ) f x đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K .

Ví dụ 3. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 3 2 1 5 3 y x x x    .

Lời giải

- Hàm số đã cho có tập xác định là .

- Ta có: 2 2 2 1 ( 1) y x x x     ; 0 y với mọi x  và 0 1 y x   .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số nghịch biến trên .

Ví dụ 4. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số

2 4 x y x   .

Lời giải

- Hàm số đã cho có tập xác định là \{0}  .

- Ta có:

2

2 4 x y x   với 0 x  ; 2 2 0 4 0 . 2

x y x x

       

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( ; 2)  và (2; ) ; nghịch biến trên mỗi khoảng ( 2;0)  và (0;2) .

Nhận xét

Để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số ( ) y f x  , ta có thể thực hiện các bước sau:

Buớc 1. Tìm tập xác định của hàm số ( ) y f x  .

Bước 2. Tính đạo hàm ( ) f x  . Tìm các điểm ( 1,2, , ) ix i n   mà tại đó hàm số có đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.

TOÁN 12‐CÁNH DIỀU

…………………………………………………………..... 4

Bước 3. Sắp xếp các điểm ix theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.

Buớc 4. Căn cứ vào bảng biến thiên, nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

II. ĐIỂM CỰC TRỊ, GIÁ TRỊ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Cho hàm số ( ) y f x  liên tục trên tập K , trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng và

0 1 , x K x K   .

- 0x được gọi là một điểm cực đại của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng ( ; ) a b chứa điểm 0x sao cho ( ; ) a b K  và   0 ( ) f x f x  với mọi ( ; ) x a b  và 0 x x  . Khi đó,   0 f x được gọi là giá trí cực đại của

hàm số đã cho, kí hiệu là CD. f .

- 1x được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số đã cho nếu tồn tại một khoảng ( ; ) c d chứa điểm 1x sao cho ( ; ) c d K  và   1 ( ) f x f x  với mọi ( ; ) x c d  và 1 x x  . Khi đó,   1 f x được gọi là giá trị cực tiểu của

hàm số đã cho, kí hiệu là CT f .

- Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị).

Chú ý

Nếu 0x là một điểm cực trị của hàm số ( ) y f x  thì người ta nói rằng hàm số ( ) y f x  đạt cực trị tại

điểm 0x . Khi đó, điểm     0 0 ; M x f x được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số ( ) y f x  .

Ví dụ 5. Dựa vào đồ thị hàm số 3 ( ) 3 y f x x x    ở …