Tài liệu chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số

CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Page 167

BÀI 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1. Nhánh vô cực của đường cong ( ) ( ) : C y f x =

Gọi ( ) ( ) ; M x y C ∈ .

Ta nói: ( ) C có nhánh vô cực ⇔ x hay x y hay y →+∞ →−∞   →+∞ →−∞ 

VD1: Đồ thị ( ) C của hàm số 2 y x = có nhánh vô cực

VD2: Đồ thị ( ) C của hàm số 2 4 y x = − không có nhánh vô cực

vì ( ) ( ) ; M x y C ∈ ⇒ 2 2 x −≤ ≤ và 0 2 y ≤ ≤ .

2) Tiệm cận của đường cong

Cho đường cong ( ) ( ) : C y f x = và ( ) ( ) ; M x y C ∈ , H là hình chiếu vuông góc của M lên ( ) ∆.

Đường thẳng ( ) ∆ được gọi là tiệm cận của ( ) C khi và chỉ khi khoảng cách MH từ M đến ( ) ∆

tiến về 0 khi M vẽ nên nhánh vô cực của ( ) C .

Như vậy: ( ) ∆ tiệm cận của ( ) C lim 0 M MH →∞ ⇔ =

CHƯƠNG

I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

LÝ THUYẾT. I

CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Page 168

3) Định nghĩa đường TCĐ và TCN của đồ thị hàm số

a) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Đường thẳng 0 x x = được gọi là đường tiệm cận đúng

(TCĐ) của đồ thị hàm số ( ) y f x = nếu thỏa mãn ít nhất

một trong các điều kiện sau:

0 lim ( ) x x f x + → = +∞;

0 lim ( ) x x f x + → = −∞

0 lim ( ) x x f x − → = +∞;

0 lim ( ) x x f x − → = −∞

b) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Cho hàm số ( ) y f x = có xác định trên một khoảng vô hạn

là khoảng có một trong các dạng ( , ) a +∞; ( , ) a −∞ ; ( , ) −∞+∞

.Đường thẳng 0 y y = được gọi là đường TCN (hay TCN)

của đồ thị nếu thỏa mãn ít nhất một trong các điều kiện sau: 0 lim ( ) x f x y →−∞ = ; 0 lim ( ) x f x y →+∞ =

 Lưu ý:

i) Hàm ax b y cx d + = + với 0 ac ≠ có tiệm cận đứng d x c = − ; tiệm cận ngang a y c = .

ii) Hàm ( ) ( )

f x y g x = với ( ) ( ) , f x g x là những hàm đa thức

+) Nếu bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu thì có tiệm cận ngang 0 y = .

+) Nếu bậc tử bằng bậc mẫu thì có tiệm cận ngang n

n

a y b = với , n n a b là hệ số của lũy thừa

cao nhất trên tử và dưới mẫu. +) Nếu bậc tử lớn hơn bậc mẫu thì không có tiệm cận ngang.

+) 0 x x = là tiệm cận đứng

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

0 0

0 0

0; 0

0

lim x x

g x f x

g x f x

f x

g x →

 = ≠  = =   ⇔    = ±∞   

.

iii) Ứng dụng máy tính CASIO để tìm tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang Để tìm tiệm cận đứng hoặc tiệm cận ngang của một hàm số thông qua máy tính CASIO, ta sử dụng phím CALC trên máy. Một số lưu ý về kết quả và cách bấm:

Giới hạn Thao tác trên máy

tính

o x x+ → CALC

10 10 ox − +

o x x− → CALC

10 10 ox − −

x →+∞ CALC 10 10 x →−∞ CALC 10 10 −

CHUYÊN ĐỀ I – GIẢI TÍCH 12 - ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Page 169

DẠNG 1: TÌM TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC

Câu 1. Cho hàm số 2 3 ( ) 2 x y f x x − = = + . Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm

số ( ) y f x = .

Lời giải Vì lim 2; lim 2 x x y y →−∞ →+∞ = = nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang là 2 y = .

Vì

2 2 lim ; lim x x y y + − →− →− = −∞ = +∞ nên đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng 2 x = −.

Do đó đồ thị hàm số có tổng số 2 tiệm cận kể cả đứng và ngang.

Câu 2. Cho hàm số 2020 2021 ( ) 1 x y f x x − = = − . Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ

thị hàm số ( ) y f x = .

Câu 3. Cho hàm số 2 5 ( ) 2 x y f x x − = = − . Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm

số ( ) y f x = .

Câu 4. Cho hàm số

2 2 3 ( ) 1 x x y f x x + + = = + . Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ

thị hàm số ( ) y f x = .

Câu 5. Cho hàm số

2 6 ( ) 1 x x y f x x − − = = − . Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị

hàm số ( ) y f x = .

Câu 6. Cho hàm số

2 3 2 ( ) 1 x y f x x + − = = − . Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị

hàm số ( ) y f x = .

Câu 7. Cho hàm số

2

2 6 ( ) 3 2 x x y f x x x − − = = + + . Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị

hàm số ( ) y f x = .

Câu 8. Cho hàm số

2 2 3 3 ( ) 2 4 x x x y f x x + + − = = − . Tìm tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của

đồ thị hàm số ( ) y f x = …