Chủ đề cực trị của hàm số ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán

Phan Nhật Linh Fanpage: Luyện thi Đại học 2023

1 | Facebook tác giả: Phan Nhật Linh

LÝ THUYẾT

CHỦ ĐỀ 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

❖ Định nghĩa

• Giả sử hàm số f xác định trên tập K và 0x K  . Ta nói:

• 0 x là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( ) ;a b chứa 0 x sao cho ( ) ;a b K  và

( ) ( ) ( )  0 0 , ; \ f x f x x a b x   . Khi đó ( ) 0 f x được gọi là giá trị cực tiểu của hàm sốf .

• 0 x là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng ( ) ;a b chứa 0 x sao cho ( ) ;a b K  và

( ) ( ) ( )  0 0 , ; \ f x f x x a b x   . Khi đó ( ) 0 f x được gọi là giá trị cực đại của hàm sốf .

• Điểm cực đại và điểm cực tiểu gọi chung là điểm cực trị.

• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu gọi chung là cực trị.

• Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị của hàm số và điểm cực trị phải

là một điểm trong tập hợp K.

• Giá trị cực đại và giá trị cực tiểu được gọi chung là giá trị cực trị (hay cực trị) của hàm số.

• Nếu 0 x là điểm cực trị của hàm số thì điểm ( ) ( ) 0 0 ; x f x được gọi là điểm cực trị của đồ thị

hàm số f .

❖ Quy tắc tìm cực trị

➢ Quy tắc 1: • Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm ( ). f x 

• Bước 2: Tìm các điểm ix ( ) 1;2;... i = mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc hàm số liên

tục nhưng không có đạo hàm. • Bước 3: Lập bảng biến thiên hoặc bảng xét dấu ( ) f x  . Nếu ( ) f x  đổi dấu khi đi qua ix thì hàm

số đạt cực trị tại ix .

➢ Định lý • Giả sử ( ) y f x = có đạo hàm cấp 2 trong khoảng ( ) 0 0 ; x h x h − + với 0. h  Khi đó:

• Nếu ( ) 0 0, f x  = ( ) 0 0 f x   thì hàm số f đạt cực đại tại 0. x

• Nếu ( ) 0 0, f x  = ( ) 0 0 f x   thì hàm số f đạt cực tiểu tại 0. x

Từ định lí trên, ta có một quy tắc khác để tìm cực trị của hàm số ➢ Quy tắc 2: • Bước 1: Tìm tập xác định. Tìm ( ). f x 

• Bước 2: Tìm các nghiệm ix ( ) 1;2;... i = của phương trình ( ) 0. f x  =

• Bước 3: Tính ( ) f x  và tính ( ). i f x 

Nếu ( ) 0 i f x   thì hàm số f đạt cực đại tại điểm . ix

Nếu ( ) 0 i f x   thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm . ix

Chủ đề 02: Cực trị của hàm số

Tư duy toán học 4.0 – Luyện thi Đại học 2023 | 2

VÍ DỤ MINH HỌA

Chọn B

Ta có hàm số 3 2 1 3 1 3 y x x x = + − + có tập xác định D = .

2 2 3 y x x = + −; 1 0 3 x y x  = = = − 

.

2 2 y x = + ; ( ) 3 4 0 y− = − ; ( ) 1 4 0 y =  .

Suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm 1 x = .

Lời giải Chọn B

Xét hàm số ( ) ( ) 3 2 3 1 3 7 3 y x m x m x = − + + − (1) ( ) ( ) 2 3 6 1 3 7 3 y x m x m   = − + + − .

Ta có: ( ) 2 0 2 1 7 3 0 y x m x m =  − + + − = (2)

Hàm số đã cho không có cực trị

 Phương trình 0 y= vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

( ) ( ) ( ) 2

2 0 1 1. 7 3 0 m m     + − −  2 5 4 0 m m  − +  1 4 m    .

Do m là số nguyên nên   1; 2 ; 3 ; 4 m  . Vậy tập S có 4 phần tử.

Lời giải Chọn B

Từ giả thiết, ta có bảng biến thiên của hàm số ( ) f x

VÍ DỤ 1. Hàm số 3 2 1 3 1 3 y x x x = + − + đạt cực tiểu tại điểm

A. 1 x = −. B. 1 x = . C. 3 x = −. D. 3 x = .

VÍ DỤ 2. Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 3 1 3 7 3 y x m x m x = − + + − . Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của

tham số m để hàm số không có cực trị. Số phần tử của S là

A. 2. B. 4. C. 0. D. Vô số.

VÍ DỤ 3. Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) ( )( ) 2 1 4 f x x x  = − − với mọi x . Hàm số

( ) ( ) 3 g x f x = − có bao nhiêu điểm cực đại?

A. 0. B. 1. C. 2. D. 3.