Bài toán tiếp tuyến của đồ thị hàm số

CHỦ ĐỀ 8: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm

Phương pháp giải:

Cho hàm số ( )( ) = y f x C . Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm ( ) ( ) ( ) 0 0 ; ∈ A x f x C là

( )( ) ( ) 0 0 0 ′ = − + y f x x x f x .

Trong đó 0x được gọi là hoành độ tiếp điểm: ( ) 0 0 = y f x là tung độ tiếp điểm và ( ) 0 ′ = k f x là hệ số góc

của tiếp tuyến. Điểm ( ) 0 0 ; A x y được gọi là tiếp điểm.

Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) 3 3x = + y x C tại:

a) Điểm ( ) 1;4 A .

b) Điểm có hoành độ 0 1 = − x

c) Điểm có tung độ 0 14 = y .

d) Giao điểm của ( ) C với đường thẳng : 3 8 = − d y x .

Lời giải

a) Ta có: ( ) ( ) 2 3x 3 1 6 ′ ′ = + ⇒ = f x f .

Do vậy phương trình tiếp tuyến tại ( ) 1;4 A là ( ) 6 1 4 6x 2 = − + = − y x

b) Với ( ) ( ) 0 0 0 1 4 6 ′ = = −⇒ = −⇒ = x x f x f x

Do vậy phương trình tiếp tuyến là ( ) 6 1 4 6 2 = + − = + y x x

c) Với ( ) 3 0 0 14 3 14 2; 2 15 ′ = ⇒ + = ⇔ = = y x x x f

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: ( ) 15 2 14 15 16 = − + = − y x x

d) Hoành độ giao điểm của ( ) C và d là 3 3x 3 8 2 + = − ⇔ = − x x x

Với ( ) 2 14 2 15 ′ = −⇒ = − ⇒ − = x y f . Do đó phương trình tiếp tuyến là ( ) 15 2 14 15 16 = + − = + y x x .

Ví dụ 2: Cho hàm số ( ) 2 2 1 − = + x y C x .

a) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại điểm có tung độ 0 3 = y .

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại giao điểm của ( ) C với đường thẳng : 2 = − d y x .

Lời giải

Ta có:

( )

2 5

2 1 ′ = + y x

a) Ta có: ( ) 0 0 2 3 3 5x 5 1 1 5 2 1 − ′ = ⇒ = ⇔ = −⇔ = −⇒ − = + x y x y x .

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: ( ) 5 1 3 = + + y x hay 5 8 = + y x .

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( ) C là: 2 2 2 0 2 1

=  − = − ⇔= + 

x x x x x

Với ( ) 0 0 1 2 0; 2 5 ′ = ⇒ = = x y y suy ra phương trình tiếp tuyến là: ( ) 1 2 5 = − y x .

Với ( ) 0 0 0 2; 0 5 ′ = ⇒ = − = x y y suy ra phương trình tiếp tuyến là: 5 2 = − y x .

Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 4 2 = − + y x x tại điểm có hoành độ bằng 1 là:

A. 2 = −− y x B. 2 = − y x C. = − y x D. 1 = −+ y x

Lời giải

Ta có ( ) ( ) 2 0 0 1 1; 3 4 1 1 ′ ′ = ⇒ = − = − ⇒ = − x y f x x f

Do vậy PTTT là: ( ) 1 1 = − − −= − y x x . Chọn C.

Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) 2 1 1 + = − x y C x tại giao điểm của ( ) C với trục tung là:

A. 3 1 = − − y x B. 3 3 = − − y x C. 3 = − y x D. 3 3 = − + y x

Lời giải

( ) ( ) 0; 1 ∩ = − C Oy A . Lại có

( )

( ) 2 3 0 3 1

− ′ ′ = ⇒ = − − y y x

Do vậy phương trình tiếp tuyến là: 3 1 = − − y x . Chọn A.

Ví dụ 5: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 2 3 = + − − y x x tại điểm có hoành độ 2 − x là:

A. 3 3 4 2 = + y x B. 3 1 4 2 = − y x C. 3 3 4 2 = − y x D. 3 1 2 2 = + y x

Lời giải

Với 2 1 = ⇒ = x y . Lại có ( ) ( ) 1 1 3 2 4 2 2 2 3 ′ ′ = + ⇒ = + − f x f x x

Do đó phương trình tiếp tuyến là: ( ) 3 3 1 2 1 4 4 2 = − + = − y x x . Chọn B.

Ví dụ 6: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 2 4 1 = − + y x x tại điểm 0x thỏa mãn ( ) 0 4 ′′ = f x là:

A. 3 1 = − + y x B. 4 1 = − − y x C. 4 1 = − y x D. 4 1 = − + y x

Lời giải

Ta có: ( ) ( ) 2 3 8 6 8 ′ ′′ = − ⇒ = − f x x x f x x .

Giải ( ) ( ) 0 0 4 2 7; 2 4 ′′ ′ = ⇔ = ⇒ = − = − f x x y f

Do đó phương trình tiếp tuyến là: ( ) 4 2 7 4 1 = − − − = − + y x x . Chọn D.