Bài toán tương giao giữa hai đồ thị

CHỦ ĐỀ 7: BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ

I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thị

Phương pháp giải:

Cho 2 hàm số ( ) y f x = và ( ) y g x = có đồ thị lần lượt là ( ) C và ( ) C′ :

 Lập phương trình hoành độ giao điểm của ( ) C và ( ) C′ là ( ) ( ) ( ) f x g x = ∗

 Giải phương trình tìm x thay vào ( ) f x hoặc ( ) g x để suy ra y và tọa độ giao điểm

 Số nghiệm của phương trình ( ) ∗ là số giao điểm của ( ) C và ( ) C′

Ví dụ 1: [Đề minh họa THPT QG năm 2017] Biết rằng đường thẳng 2 2 y x = − + cắt đồ thị hàm số

3 2 y x x = + + tại điểm duy nhất; ký hiệu ( ) ; o o x y là tọa độ của điểm đó. Tìm oy

A. 4 oy = B. 0 oy = C. 2 oy = D. 1 oy = −

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm là: 3 3 2 2 2 3 0 0 2 x x x x x x y − + = + + ⇔ + = ⇔ = ⇒ =

Vậy tọa độ giao điểm là ( ) 0;2 . Chọn C.

Ví dụ 2: Biết rằng đồ thị hàm số 4 2 3 5 y x x = − + và đường thẳng 9 y = cắt nhau tại hai điểm phân biệt

( ) ( ) 1 1 2 2 ; ,B ; . A x y x y Tính 1 2 x x +

A. 1 2 3 x x + = B. 1 2 0 x x + = C. 1 2 18 x x + = D. 1 2 5 x x + =

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là:

2 1 4 2 4 2 2 1 2 2 2

2 1 2 3 5 9 3 4 0 4 0 2 2 4

x x x x x x x x x x x x x

 = = − =   − + = ⇔ − − = ⇔ ⇒ = ⇔ ⇒ ⇒ + =   = − = − =    

Chọn B.

Ví dụ 3: Hỏi đồ thị của hàm số 3 2 2 1 y x x x = + − + và đồ thị hàm số 2 3 y x x = − + có tất cả bao nhiêu điểm

chung?

A. 0 B. 2 C. 1 D. 3

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số là 3 2 2 3 2 2 1 3 2 0 x x x x x x x + − + = − + ⇔ + − =

( ) 2 ( 1) 2 2 0 1 0 1. x x x x x ⇔ − + + = ⇔ −= ⇔ = Suy ra hai đồ thị có một điểm chung. Chọn C.

Ví dụ 4: Số giao điểm của đồ thị hai hàm số 3 2 3 1 y x x = + + và 4 3 3 y x x = + − là

A. 1 B. 4 C. 3 D. 2

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số là 3 2 4 3 4 2 3 1 3 3 4 0 x x x x x x + + = + − ⇔ − − =

2 2

2 1 2 4 2 4

x x x x x

 = − =  ⇔ ⇒ = ⇔ ⇒  = − =   

2 đồ thị hàm số có 2 giao điểm. Chọn D.

Ví dụ 5: Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số

2 2 3 1 x x y x − + = − với đường thằng 3 6 y x = −

A. 3 B. 0 C. 1 D. 2

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( ) C và đường thẳng ( ) d là

2 2 3 3 6 1 x x x x − + = − −

( ) 2 2 2 2 1 0 1 1

2 3 ( 1)(3 6) 2 3 3 9 6 2 7 3 0

x x x

x x x x x x x x x x

−≠ ≠ ≠    ⇔ ⇔ ⇔ ∗    − + = − − − + = − + − + =   

Hệ phương trình ( ) ∗có hai nghiệm phân biệt nên ( ) C cắt ( ) d tại hai điểm. Chọn D.

Ví dụ 6: Hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số ( ) 2 1 2 x y C x − = + và đường thẳng : 2 d y x = − là

A. 1 3 x x = −  = 

B. 1 3 x x =  = − 

C. 1 6

1 6

x

x

= +  = − 

D. 1 3 x x = −  = − 

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị ( ) C và ( ) d là 2 2 2 1 2 2 2 1 4

x x x x x x

≠−  −= − ⇔ + −= − 

2

2 2 1 1 3 2 3 0 3

x x x x x x x x

≠−  ≠− = −    ⇔ ⇔ ⇔ = −    = − − =     =  

. Chọn A.

Ví dụ 7: Biết đường thẳng 3 4 y x = + cắt đồ thị hàm số 4 2 1 x y x + = − tại hai điểm phân biệt có tung độ 1y và

2y . Tính 1 2 y y +

A. 1 2 10 y y + = B. 1 2 11 y y + = C. 1 2 9 y y + = D. 1 2 1 y y + =

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị là

2 1 2 0 4 2 3 4 2 1 1

x x x x x x x x

= −  − − =  + = + ⇔ ⇔  = − ≠  

Ta có:

1 1 1 2 2 2

1 1 11. 2 10

x y y y x y

= − =   ⇒ ⇒ + =   = =  

Chọn B.