Bài toán biện luận số nghiệm phương trình

CHỦ ĐỀ 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Dạng 1: Dựa vào bảng biến thiên và đồ thị để biện luận số nghiệm của phương trình

Bài toán: Biện luận số nghiệm của phương trình: ( ) ; 0 F x m = theo tham số m dựa vào đồ thị hoặc bảng

biến thiên của hàm số ( ) y f x = .

Phương pháp giải:

 Bước 1: Biến đổi phương trình ( ) ; 0 F x m = về dạng ( ) ( ) f x g m = .

 Bước 2: Vẽ đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số ( )( ) y f x C = và đường thẳng ( ) : d y g m =

Đường thẳng d có đặc điểm vuông góc với trục tung và cắt trục tung tại điểm có tung độ ( ) g m .

 Bước 3: Dựa vào đồ thị hoặc bảng biến thiên của hàm số để biện luận số nghiệm của phương trình đã

cho.

Ví dụ 1: Cho hàm số 4 2 2 y x x = − + có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả

các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 2 2 x x m − + = có bốn

nghiệm thực phân biệt?

A. 0 m >

B. 0 1 m ≤ ≤

C. 0 1 m < <

D. 1 m <

Lời giải

Số nghiệm của phương trình phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số 4 2 2 y x x = − + và đường thẳng

y m = . Dựa vào hình vẽ suy ra phương trình đã cho có 4 nghiệm khi 0 1 m < < . Chọn C.

Ví dụ 2: [Đề thi tham khảo THPT QG năm 2019] Cho hàm số ( ) y f x = có bảng biến thiên như sau

x −∞ 2 − 0 2 +∞

( ) f x ′ − 0 + 0 − 0 +

( ) f x +∞ 1 +∞

2 − 2 −

Số nghiệm thực của phương trình ( ) 2 3 0 f x + = là

A. 4 B. 3 C. 2 D. 1

Lời giải

Số nghiệm thực của phương trình ( ) ( ) 3 3 0 2 f x f x − + = ⇔ = chính là số giao điểm của đồ thị hàm số

( ) y f x = và đường thẳng 3 2 y = − .

Đường thẳng 3 2 y = − cắt đồ thị hàm số ( ) y f x = tại 4 điểm phân biệt.

Vậy phương trình ( ) 2 3 0 f x + = có đúng 4 nghiệm thực phân biệt. Chọn A.

Ví dụ 3: Cho hàm số 3 2 y ax bx cx d = + + + có đồ thị trong hình bên.

Hỏi phương trình 3 2 1 0 ax bx cx d + + + + = có bao nhiêu nghiệm?

A. Phương trình không có nghiệm.

B. Phương trình có đúng 1 nghiệm.

C. Phương trình có đúng 2 nghiệm.

D. Phương trình có đúng 3 nghiệm.

Lời giải

Số nghiệm của phương trình đã cho phụ thuộc vào số giao điểm của đồ thị hàm số

( ) 3 2 y ax bx cx d C = + + + và đường thẳng 1 y = −.

Dựa vào đồ thị ta thấy ( ) C cắt đường thẳng 1 y = − tại 3 điểm phân biệt nên phương trình đã cho có 3

nghiệm. Chọn D.

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị m để phương trình 3 3 2 x x m − = có 3 nghiệm phân biệt

A. 2 2 m −< < B. 1 1 m −< < C. 2 2 m −≤ ≤ D. 1 1 m −≤ ≤

Lời giải

Phương trình 3 3 2 x x m − = là phương trình hoành độ giao điểm

của đồ thị hàm số 3 3 y x x = − và đường thẳng 2 y m = . Phương

trình có 3 nghiệm phân biệt khi hai đồ thị có ba giao điểm. Khi

đó 2 2 2 1 1 m m −< < ⇔−< < . Chọn B.

Ví dụ 5: [Đề thi THPT QG năm 2018] Cho hàm số

( ) ( ) 3 2 , , , f x ax bx cx d a b c d = + + + ∈. Đồ thị của hàm số ( ) y f x =

như hình vẽ. Số nghiệm thực của phương trình ( ) 3 4 0 f x + = là:

A. 3

B. 0

C. 1

D. 2

Lời giải

Ta có: ( ) ( ) 4 3 4 0 3 f x f x − + = ⇔ =

Số nghiệm của phương trình ( ) 4 3 f x = − là số giao điểm của đồ thị hàm số ( ) y f x = và đường thẳng

4 3 y = − .

Dựa vào đồ thị hàm số suy ra phương trình ( ) 4 3 f x = − có 3 nghiệm phân biệt. Chọn A.

Ví dụ 6: Cho hàm số ( ) 3 2 2 3 2 y f x x x = = − + có bảng biến thiên như sau

x −∞ 0 1 +∞

y′ + 0 − 0 +

y 2 +∞

−∞ 1

Giá trị của tham số m để phương trình 3 2 3 2 1 0 2 x x m − + −= có 3 nghiệm phân biệt là:

A. 1 3 2 4 m < < B. 3 1 2 m < < C. 1 2 m < < D. 1 3 2 2 m < <

Lời giải

Ta có: PT ( ) 3 2 3 2 2 3 4 2 0 2 3 2 4 4 1 x x m x x m ⇔ − + − = ⇔ − + = −

Số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của đồ thị ( ) C và đường thẳng : 4 4 d y m = − . Do vậy

phương trình (1) có đúng 3 nghiệm khi d cắt ( ) C tại đúng 3 điểm phân biệt

1 3 1 4 4 2 2 4 m m < − < ⇔ < < . Chọn A.