Chuyên đề trắc nghiệm nhận dạng đồ thị hàm số

CHỦ ĐỀ 5: NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I. HÀM SỐ BẬC BA: 3 2 y ax bx cx d = + + + ( ) 0 a ≠

1. Giới hạn, đạo hàm và cực trị

Giới hạn:

- Với 0 a > thì lim x y →+∞ = +∞ và lim x y →−∞ = −∞.

- Với 0 a < thì lim x y →+∞ = −∞ và lim x y →−∞ = +∞.

Đạo hàm và cực trị: 2 3 2 y ax bx c ′ = + + . Khi đó:

- Hàm số có hai điểm cực trị khi 0 y′ = có hai nghiệm phân biệt 0 y′′ ⇔∆ > .

Gọi ( ) 1 1 ; A x y và ( ) 2 2 ; B x y là hai tọa độ điểm cực trị thì theo định lý Viet ta có:

1 2

1 2

2 3

3

b x x a c x x a

−  + =   = 

- Hàm số không có cực trị khi 0 y′ = vô nghiệm hoặc có nghiệm kép 0 y′′ ⇔∆ ≤

Chú ý: Đối với hàm số bậc ba ta luôn có > CÑ CT y y và:

- Nếu 0 a > thì < CÑ CT x x .

- Nếu 0 a < thì > CÑ CT x x .

2. Bảng biến thiên

TH1: Hàm số có hai điểm cực trị 1 2 , x x .

x −∞ 1x 2x +∞

y′ + 0 − 0 +

y

−∞

CÑ

CT

+∞

x −∞ 1x 2x +∞

y′ − 0 + 0 −

y +∞

CT

CÑ

−∞

Hệ số 0 a > Hệ số 0 a <

TH2: Hàm số không có điểm cực trị

x −∞ +∞

y′

y

−∞

+∞

x −∞ +∞

y′

y +∞

−∞

Hệ số 0 a > Hệ số 0 a <

3. Đồ thị hàm số

0 a > 0 a <

0 y′′ ∆ >

< CÑ CT x x

> CÑ CT x x

0 y′′ ∆ ≤

4. Phương pháp giải toán

Để nhận diện đồ thị hàm số bậc ba: 3 2 y ax bx cx d = + + + ( ) 0 a ≠ ta làm như sau:

Ta có 2 3 2 y ax bx c ′ = + +

Dựa vào lim x y →+∞ để xác định hệ số a :

- Nếu 0 a > thì nhánh cuối của đồ thị đi lên ;x y tiến về vô cùng.

- Nếu 0 a < thì nhánh cuối của đồ thị đi xuống x →+∞ và y →−∞.

Dựa vào giao điểm với trục tung ( ) 0;d suy ra tính chất của hệ số d

Dựa vào số điểm cực trị của đồ thị hàm số suy ra số nghiệm của phương trình 0 y′ =

Dựa vào vị trí của các điểm cực trị, tọa độ các điểm cực trị và các điểm mà đề bài đã cho thuộc đồ thị

hàm số.

Trong trường hợp đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị 1 2 ; x x ta có:

1 2

1 2

2 3

3

b x x a c x x a

−  + =   = 

(định lý Viet)

Khi đó dựa vào 1 2 2 3 b x x a − + = suy ra tính chất của b; dựa vào 1 2 3 c x x a = suy ra tính chất của c.

II. CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Ví dụ 1: [Đề THPT QG năm 2017] Đường cong hình bên là đồ thị của

hàm số nào trong bốn hàm số dưới đây?

A. 3 2 3 2 y x x = − + .

B. 4 2 1 y x x = − + .

C. 4 2 1 y x x = + + .

D. 3 2 3 2 y x x = − + + .

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị nên ta loại đáp án B và C.

Mặt khác lim x y →+∞ = +∞ nên hệ số. Chọn A.

Ví dụ 2: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  và có bảng biến thiên như hình vẽ.

Hàm số ( ) y f x = là hàm số nào trong các hàm số sau:

A. 3 2 3 2 y x x = − + . B. 3 2 3 2 y x x = − + + . C. 3 2 3 2 y x x = − − + . D. 3 2 3 2 y x x = + + .

Lời giải

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy

lim x y →+∞ = +∞⇒ Hệ số 0 a > do đó loại B và C.

Mặt khác hàm số đạt cực trị tại 0, 2 x x = = nên loại D. Chọn A.

x −∞ 0 2 +∞

y′ + 0 − 0 +

y

−∞

2

2 −

+∞

Ví dụ 3: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm

số dưới đây?

A. 3 4 1 y x x = − + . B. 3 2 3 1 y x x = + + .

C. 3 4 1 y x x = − −. D. 3 4 1 y x x = − + + .

Lời giải

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm ( ) 0; 0 d d ⇒ > nên ta loại đáp án C

lim 0 x y a →+∞ = +∞⇒ > nên ta loại đáp án D.

Mặt khác hàm số đạt cực trị tại hai điểm 1 2 , x x dựa vào hình vẽ ta thấy 1 2 , x x trái dấu nên đáp án ta loại

đáp án B. Chọn A.

Ví dụ 4: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số nào

trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D

dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. 3 2 3 1 y x x = − + + .

B. 3 3 1 y x x = − + + .

C. 3 3 1 y x x = − + .

D. 3 3 1 y x x = − − + .

Lời giải

Hàm số có hệ số 0 a < do lim x y →+∞ = −∞ nên loại đáp án C.

Hàm số có 2 điểm cực trị 1 2 0 x x < < nên 0 y′ = có 2 nghiệm phân biệt trái dấu.

Xét đáp án A. 3 2 2 0 3 1 3 6 0 2 x y x x y x x x =  ′ = − + + ⇒ = − + = ⇔= 

(loại).

Xét đáp án D. ( ) 3 2 3 1 3 3 0 y x x y x x x ′ = − − + ⇒ = − − < ∀∈ (loại). Chọn B.

Ví dụ 5: Đường cong hình bên là đồ thị của hàm số

3 2 y ax bx cx d = + + + . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. 0, 0, 0, 0 a b c d > < > > .

B. 0, …